Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Максвелла (7.46) — (7.49) при этом имеют вид:
rdr ?, = -21*.; йФ, = 0; (24.28)
гдг Ф, = —Ф^дсФ,; (24.29)
SPd^2 + г (Hdr — д„) Ф, = — 2 (Я + гди In 5а) Ф, + SP^2. (24.30) Уравнения (24.28) и (24.29) последовательно интегрируются:
Ф, =Q(и, <S>2=-&Q,i!(2r2) + {&!r)h{u,t.,T), (24.31)
где Q(t,, и) и А(?, %, и) являются комплексными функциями соответствующих аргументов, и в силу (24.30) на них наложено условие
h,( = du(Q' 2SP*). (24.32)
Теперь можно обратиться к оставшимся полевым уравнениям: Rn = R* = 2Х.Ф.Ф,; (24.33)
R1 3 = 2x^,?2; R,, = 2х0Ф2Ф2, (24.34)
[ср. с (7.16)-(7.21) и (7.53)]. Выражения для Rn, R13, Rzs и R34
в зависимости от функций, входящих в метрику, можно получить из (24.2)-(24.5).
239
Уравнение (24.33) дает следующую зависимость от г функции Я:
2Я = Д In^ — 2/- (In ?Р)М---/те (С, С и) + ^r QQ. (24.35)
а из уравнений (24.34) следуют приведенные ниже уравнения (24.36г), (24.36д).
Теорема 24.3. Если поле Эйнштейна — Максвелла допускает геодезическое, бессдвиговое, расширяющееся, но нормальное изотропное поле вектора к, который является собственным вектором тензоров Максвелла и Вейля, то метрика является алгебраически специальной и может быть записана в форме
ds*= 2 г^>-2 (С, Z, и) ЯЖ- 2 dudr-|д In S»-2r(ln 9)Л- j m (С, С, ц)+
+ -?- Q («. «) Q 6 «)] <*“*» (24.36а)
электромагнитное поле имеет вид:
ф, = - Jr; фг = - -J- Q,T +41 Л (S. Є, и). (24.366)
где ^ и m— действительные функции; А— комплексная; Q аполитична по ?. Эти четыре функции должны удовлетворять следующим условиям:
ДДIn^zre(InSa)iu-4/и ,,=^xtSslAA; А = 2^>гд^-, (24.36в) QQ.и - QQ.и = 2^*OtQ,і - AQ.0; (24.36г)
Alt = (Q^Sat)il,; Wlt = XeAQ. (24.36д)
Подобно всем метрикам класса Робинсона — Траутмана
(23.37), рассматриваемый интервал сохраняется при преобразованиях (23.38), т. е. при ?-4/(2;), и-^-F(и) и подходящем выборе функций 3і, Q и т, входящих в метрику.
Чтобы дать представление о физическом смысле величин, входящих в (24.36), можно грубо считать т и Q соответствующими массе и заряду (электрическому и магнитному), а А считать полем чистого электромагнитного излучения. При Q=O поле Максвелла является изотропным.
He обращающиеся в нуль компоненты тензора Вейля решений Робинсона — Траутмана (24.36), как оказалось, имеют вид:
иг —J!L -I- •
— г3 ^ 2г* ’
+ (24-37)
24.2.2. Решения типа III, N и О
Равенство 1F2=O означает, что m=Q=0; поле Максвелла обязательно является изотропным. Для решений типа III в силу (24.36д) Л аналитично по t; и, следовательно, подчиняется условию
Д In (АЛ) =--0, (24.38)
которое накладывает ограничения на решения единственного оставшегося полевого уравнения
(??? Д In Sa = 2и0ЛА; ЛЛ^О. (24.39)
Частное решение системы (24.38), (24.39) имеет вид [Bartrum
(1967)]:
^ = /(и)А(С)?(?)(1+«'2); V\h = /2/(и)Л (С)P (С). (24.40)
Чтобы получить решения типа N или 0, следует потребовать,
помимо 1F2 = O1 выполнения условия 1F3 = O=(Aln^)it. Вместе
с полевыми уравнениями (24.39) это дает Л=0.
Теорема 24.4. He существует невакуумных полей Эйнштейна — Максвелла класса Робинсона — Траутмана, принадлежащих к типам N или 0 по Петрову.
24.2.3. Решения типа D
Все поля Эйнштейна — Максвелла класса Робинсона — Траутмана типа D известны [Debever (1971); Cahen, Sengier (1967); Leroy (1976)]. Следуя Леруа, дадим их исчерпывающий перечень, не приводя доказательств. Исходными являются уравнения (24.36) вместе с условием для решений типа D
ЗЧГ2?4=2?23.
Последнее условие распадается на пять уравнений, получающихся приравниванием нулю коэффициентов при различных степенях г. Необходимо различать несколько случаев.
Если Q=O, то Фі пропадает и электромагнитное поле является изотропным. Полевое уравнение (24.36д) дает зависимость т= =т(и), и оказывается, что метрика пространства типа D с Q=O1 имеет вид [RobinsonlTrautman (1962)]:
ds8 = г2 (dx2 -f- dy2) — 2dudr -f- 2т (и) dtf/r;
m(u) = — na^h{u)h{u)du; Ф,=0; Фt—h(u)<r. (24.41)
Если Q=TfcO, QlJi=O, то в силу (24.36г) Q можно преобразовать к комплексной константе. Для h — 0 соответствующие решения типа D имеют вид:
ds1 = 2r*d.Ul/(і + Щр} - cIdudr - (к - ~ + ) du1; (24.42)
®, = Q/(2re); Ф2 = 0; /( = 0, ±1.
где Q (комплексная) и т (действительная)—произвольные константы. При /С= 1 (24.42) являются решениями Райснера — Вейля
16—99 241
(13.21). Очевидно, (24.42) есть заряженный аналог вакуумной метрики (24.20).
Для отличного от нуля А с помощью подходящего преобразования и можно получить XoQQ=I. Тогда т становится функцией только s=x-\-u. Если взять т в качестве новой переменной, то соответствующее решение типа D можно записать следующим образом:
ds2=r2 [9і2 (т) dm2+!?-2 (т.) dy2—2dmdu-\-
+!?-2(;m—r-l)du2]—2drdu; (24.43)
-г (т) = - m4/2 + art? + bm + с;
]/х0Фі =el<'/(2r2); V«офг = ZiqIrSP (m).
Это есть заряженная С-метрика [ср. с (24.23) и (19.17)]; здесь а, Ь, с й q— действительные постоянные.
Можно показать [Leroy (1976)], что решения (24.42) и
