Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
T431(Inp)11, T121 = (InSap)11, T123-T132 = (InSsP)i3; (23.15)
P14=P2; (23.16)
P (In П, + P (T213 + T433) = Rilil. (23 Л 7)
Уравнения (23.6) и (23.14) дают Таь4=0, т. е. выбрана тетрада (ш, ш, 1, к), параллельно переносимая вдоль лучей.
23.1.2. Система координат
Выберем теперь систему координат следующим^ образом. В силу (23.12) функции S и комплексно-сопряженная ? будут служить в качестве двух (пространственно-подобных) координат. Третьей, действительной координатой является аффинный параметр г вдоль лучей
&=дх1/дг= (0, 0. 1,0). (23.18)
В силу (2.17) и (3.11) это означает
dr = U^pco1 —ЬWSIbPb)2 ~//<о3 + to4, (23.19)
где W комплексно, a H действительно. [Коэффициенты при ш1 п to2 выбраны так, чтобы выражение (23.22) приняло простой вид.] Четвертая (действительная) координата и вводится следующим образом:
ип=и,піп=—I; Uli=U,nkn=0. (23.20)
Выражения (23.6) и (23.14) означают, что система (23.20) интегрируема. Из (7.55) получаем (AD—DA) ы= (7+7) Dh=O. Уравнение (23.20) дает
du = pSf>Lb)x pSPLb)1 -J- и3. (23.21)
231
Таким образом, введены все четыре координаты, так что в результате имеем:
o' — — dC/^p = mndxn, и* = — dC/^p = mndxn\
<о3 =du + LdZ + ZdC=-M-*"; (23.22)
и4 = dr + IFdC + WdS +Яш3 = - /„dx".
Комплексные функции р, L, W и действительные функции 3і, H зависят друг от друга и не могут быть выбраны произвольно, так как метрика должна удовлетворять полевым уравнениям (23.10) и условиям (23.6). Требуемые ограничения получаются из сравнения предыдущих результатов (23:6) и (23.14) — (23.16) для Г4&С [полученных из полевых уравнений (23.10) и из (23.6)] с результатами вычисления d(л3=—Г4ЬсЮ6Люс. Ограничения имеют вид:
_ P14=P1; ^.4=0; ?,*=0; (23.23)
P^>Z|1 -PSaLls = P —7; ^Li3 = (Inp)ll. (23.24)
Вычисление do4 = — T3frcOft Д <ос дает выражение для Tm-Tl41,
из которого в силу (23.14), (23.15) и (23.23) получаем условие
P^rl4 = -(Inp)ll. (23.25)
(Вычисление оставшихся членов, которое пока отложим, должно дать еще не определенные Гз&с.)
Уравнения (23.23) — (23.25) легко интегрируются. В результате имеем:
р- = _ (r + re + iS); 2І2 = 9*(dL - dL); ^ 2 ІГ = р-,І, + а(/-, + і2); д -Ldu.
Выражения (23.26) показывают, что все функции, входящие в метрику, могут быть выражены через координату г, действительные функции r^(?, I, и), и), Я(?, ?, г, и) и комплексную функ-
цию L(?, ?, и). Теперь можно изложить основной результат в виде следующей теоремы:
Теорема 23.1. Пространство-время допускает геодезическую, бессдвиговую и расширяющуюся (р=^=0) изотропную конгруэнцию к и удовлетворяет условию Ru=Ru=Rii=Q в том и только том случае, если метрику можно записать в виде
ds*=2(al<ai — 2<о3<о4 = 2dCdC/^°2pp — 2 [du + LdC +LdC] X
X [dr + IFdC + Wdl-+ H {du + LdC + ЇЖ}}; (23.27)
m‘ — (— ZPp, 0, &Wp, SPpL); m‘ = (0, — SPp, PpW, SPpL); I1 = (0, 0, — H, I); A1 = (C)1 0. I, 0).
где комплексные функции р, W, L и действительная функция 9і подчиняются условиям (23.26) [Robinson, Trautman (1962),
232
Debney е. а. (1969); Talbot (1969); Robinson е. а. (1969а); Lind
(1974)].
В выражении (23.27) г — аффинный параметр вдоль лучей; и — запаздывающее время; ? и ? являются (пространственно-подобными) координатами на 2-мерных поверхностях г; M=Const.
23.1.3. Допустимые тетрадные и координатные преобразования
Векторы 1 и к фиксированы с точностью до преобразований Лоренца (23.5), которые не изменяют (23.18) и (23.20) только в комбинации с координатным преобразованием. Метрика (23.27), следовательно, инвариантна при преобразованиях
k'=k F.u, 1=1 'F.u, F,u>0; u'=F(u, ?,?); r=r'F,u. (23.28)
Эти преобразования индуцируют преобразования функций, входящих в метрику, например
P7=Pfltt; 9>=P'F,u. (23.29)
Векторы ш (и т') фиксированы с точностью до вращения
(23.4), которое сохраняет метрику инвариантной, а функцию 9і действительной при координатных преобразованиях ?'=?'(?) (?' аналитична по ь):
m'=e‘cm; ?'=?'(?;);
(23.30)
eiс (dK’/dZV12 . ф,— йК’
Возможными преобразованиями, включающими только координатные и не содержащими тетрадных, являются а) изменение начала отсчета аффинного параметра г
r' — r-\-f(u, С, С), (23.31)
где функция f постоянна вдоль лучей, и б) преобразования
и'=и + *(С, С). (23.32)
Эти два типа преобразований являются как раз теми степенями
свободы, которые в соответствии с определениями (23.18) и (23.20)
свойственны координатам гни.
23.2. Интервал в случае лучей без вращения (со=0)
Если со исчезает
P = P = -Є(=)® = 0. (23.33)
то вид интервала (23.27) можно далее упростить. При со=0 векторное поле к является нормальным, т. е. пропорциональным градиенту, и, таким образом, преобразование к'=Лк приводит к результату
и3=—kidxl=du. (23.34)
233
Тот же результат, L=O, можно получить, исходя из (23.22). В силу (23.26) и (23.33) W3Aefo3 равно нулю, и преобразование (23.28) дает L=0.
При L=0=2 (23.26) дает р-1=г+г°(ы, %, ?), но изменением
(23.31) начала отсчета аффинного параметра всегда можно сделать г° равным нулю. Выражения (23.26) тогда примут вид
