Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
m 6пр‘! + + Г ^‘2<д In
Ф о = 0
тф 0 т = 0 II III D JV, О
236
следовательно, сингулярной линии в трехмерном (г, ?, ^-пространстве.
Появление сингулярных линий (трубок) является общим свойством многих решений Робинсона — Траутмана, из-за которого они не отвечают требованиям, предъявляемым к реалистическому описанию поля излучения вне изолированного источника.
Решения типа III, 4^=0. Решения типа III характеризуются тем, что m=0 и
AAlnS5 = O; (Д In S5).? =P 0. (24.12)
Из этих условий сразу получаем
д In S5 .= к ¦= - з I/ (С, и) + f (Cl И)|; h ?= 0- (24.13)
Если f не зависит от и, то координатным преобразованием
(23.38) /'(?)->?, при этом оно оставляет К инвариантным, и мы приходим к уравнению
AlnS5 = ZC = - 3(С + ф. (24.14)
Единственное известное решение этого дифференциального уравнения есть
^ = (С+ С)3/* (24.15)
[Robinson, Trautman (1962)], ср. с (3.25). Это решение является метрикой типа VI по Бианки, см. § 11.3 и формулу (11.45).
Если f зависит от ? и и, то, чтобы получить решение дифференциального уравнения, можно взять и в качестве параметра в (24.13) и опять сделать подстановку /(?, «)—>?, которая приводит к уравнению (24.14). Как и в случае типа N, эта подстановка не является допустимым координатным преобразованием.
Теорема 24.2. Чтобы получить наиболее общее вакуумное решение типа III с расширением, но без вращения, необходимо а) решить уравнение (24.14) относительно 9і и б) сделать затем подстановку ?-»-/(?, и), Id\I<%,/ [Foster, Newman (1967); Robin-
son (1975)].
Простым примером метрики, полученной этим способом, является
S5 = (С+ S+ и)3/2. (24.16)
_В силу (24.12) для всех решений типа III гауссова кривизна К %—t-поверхностей должна иметь сингулярные точки.
Решения типа D, 34^4^=24?. Ч'г^О. Вектор 1, используемый до сих пор, не обязательно является собственным вектором тензора Вейля. Таким образом, в решениях типа D равенство 4^=0= =xF4 не требуется, по изотропное вращение (23.3), которое обращает Ч^з и T74 в нуль, должно всегда существовать. Это возможно только, если 3^2^4=24^3, см. (4.30). Члены с различными степенями г, входящие в это условие, в итоге разбивают его на два
237
уравнения:
&>* [(Д In SsXc]2 = 6 [Sas (InSbU].?; (24.17)
[Sa2(AlnSa)icJ1C=O, (24.18)
которые должны быть удовлетворены в дополнение к полевому уравнению (24.8). Уравнения (24.18) и (24.17) дают
S52(AlnSa)1C=/(ы, Г); Ъд^-г = й(^>-2), (24.19)
где f является аналитической функцией.
Если f равно нулю, то K=A In 9і постоянно, а 9 не зависит от и. Соответствующая метрика имеет вид:
ds*=2ЛЙИ? / (I + -Y к)' ~
- 2dudr - (/С - du*; К = 0, — 1. (24.20)
При /(=1 это метрика Шварцшильда (13.23). Случай K=0 означает или (р>0) специальный вид казнеровской метрики (11.50), или (р<0) статическую метрику с плоской симметрией (13.30) [Bonnor (1970)].
Если f — ненулевая константа, то с помощью вращения и масштабного преобразования в ?—^-плоскости ее можно выбрать равной f=3 (/2^ В силу (24.19) 9і является функцией только ы+ + (?+?)/К2=ы+* и должна удовлетворять условиям
Ф*дх (&*дхдх In Sa) = 6; Ss = Sa(X^-U); С+1=хУ2. (24.21)
Это дифференциальное уравнение можно решить, введя новую переменную rj следующим образом:
dr\/ds=9>-1>; S^x+u. (24.22)
Решение и соответствующий интервал, наилучшим образом записывающиеся в координатах т|, у, г, и, имеют вид:
ds* = г* [^1 (т)) di)* -J- Sa'2 (т)) dy2 — 2di)du -|— — r_1) du* ] — 2dudr;
^-2(71)=-2т)3 + б7) +с. (24.23)
Это — статическая С-метрика (приведенная в табл. 16.2 в других координатах).
Из полного перечня всех вакуумных решений типа D (с вращением или без), данного Киннерсли [Kinnersley (1969b)], можно сделать вывод, что не существует решений с переменным f.
Решения типа II. В общем случае полевые уравнения (24.8) показывают,_что для фиксированного и=щ действительную функцию 941, ?, Uo) можно задать произвольно.
Точное решение типа II можно получить из (24.15), если поло-
238
жить Zn=Const=T^O. Оно имеет вид [Robinson, Trautman (1962)]: ds2 = 2гг (С + Iy3 dZdX. - 2dudr -+ [3 (С + С) + 2от/г] du2. (24.24) Решение
SP = (^ -f Г+ Ы)3/4 , Wi = 4- (24-25)
получено Коллинсоном и Френчем [Collinson, French (1967)].
Cm.: [Kinnersley (1975); Newmen (1974); Фролов (1977)].
24.2. Решения Робинсона — Траутмана для полей Эйнштейна — Максвелла
24.2.1. Интервал и полевые уравнения
В этом разделе будут рассмотрены алгебраически специальные поля Эйнштейна — Максвелла, когда вырожденный изотропный собственный вектор тензора Вейля является нормальным, геодезическим и бессдвиговым, а также собственным вектором тензора Максвелла (случай коллинеарных векторов). Условия теоремы23.2 удовлетворяются, и можно начать с рассмотрения метрики Робинсона-Траутмана (23.37):
ds2 2гг2Р - *&/': - 2dudr - 2Hdu2-, SP= 0. (24.26)
По предположению к является собственным вектором тензора
Максвелла, и поэтому все компоненты (7.50) — (7.52) равны нулю, за исключением
= Fab(kar + Eam°)-, Фt = (24.27)
