Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1966)]. Случай, когда присутствует вращение, не был решен полностью.
Существует два класса решений Ньюмена — Тамбурино:
р2фооф0 (сферический класс)
„ 2(2К)3/2
(г + а)2 ' ® (г — а)г
и 2 (2??)3^2 гг 2 (2??)3^2 . 3« , >* )4 . *« ** л.
8 — 1Гл.п\-' 8 — 1г-—\г > S —— I. S S —g —g —1и.
gu --: AA3 (25?)3? Ir-=^ + r-=^- - -V);
s ' { R1 2a2/?2 2a5 J
228
g*3 = 4Ла (2Rf Vy (+ С±2«-------------M ;
s v ' У V л1 2я2Л2 2а3 J
зз _ 4Лггг(2ф3/2 4у1г3 (?2 + 5*) , 2г»(2«),/2 __*L. ,-99 17»
8 — R* — R* "rZ?2 А ’
L = -Linf^v а = А (2С?)1/2; ?г = г2-а2; А=Ьи + с 2 V'—«/
(х1 -f- І Xi=Xjr І 2/ = J/2C, X3= г, х*= и).
рг = аа=^0 (цилиндрический класс)
Js2= 2(і)'а)* —2о)3о)4; W3=CfM;
(о* = Cf»--)-Шм;
O1=ItOj = -L- refjc —1— 4-^rfM —(— і 2_ 1/2 cn (6х) (dy Zbutydx -)- 26 In rcfu);
(22.18)
OU л ( j 2 ,, ч . г + 62 In (г2 СП1 Ьх)
— 2Я = 462сп (&jc) -J—:,
1 СП -(Ьх)
где Ь и с — действительные константы; сп (Ьх)—эллиптическая функция модуля k=2~l/2, а Щ дается выражением
у. = ^ ь 2-. (22.19)
2 ^2 сп (6х)
Метрику
ds* = r’rfjc® -f- x*dy 4- -^L d.*_2d«ir4-[c-f-ln (r\*4)] du2 (22.20)
x
можно получить из (22.18) с помощью предельного перехода.
Решения Ньюмена — Тамбурино не содержат произвольных функций от времени; решения Робинсона—Траутмана сюда не входят. Метрика (22.17) допускает не более одного вектора Киллинга (!=<?„, если 6=0); существует только один вектор Киллинга (\=ду) для метрики (22.18), тогда как (22.20) допускает абелеву группу G^, координатами, которыми можно пренебречь, являются у и и [Collinson, French (1967)].
Глава 23
Интервал для метрик с у.=a=O=
=/?„ = /?14 = ^44 = O19 + ><» > о
23.1. Интервал в случае лучей с вращением (ш^=0)
23.1.1. Выбор изотропной тетрады
В этой главе будут рассмотрены пространства, которые допускают геодезическую бессдвиговую изотропную конгруэнцию к с отличным от нуля расширением:
и=сг=0; р=—(Q-Hw)=^=O. (23.1)
229
Дополнительно предполагается, что компоненты тензора Риччи, выбираемые с помощью изотропной конгруэнции к и вектора (комплексной) тетрады ш, удовлетворяют условию
Rn=Rli=Rii=O. (23.2)
В этом и в следующих разделах везде будут попользованы изотропная тетрада (ш, ш, I, к) и формализм Ньюмена — Пенроуза (см. гл. 3 и 7). Все числовые индексы являются тетрадными, например Ru=RabtnaItb-, производные по координатам будут обозначаться указанием координат, например: Н,г=дН/дг=д,Н. В силу теоремы Гольдберга — Сакса (теорема 7.1) все решения, удовлетворяющие (23.1) и (23.2), являются алгебраически специальными. Заметим, что вследствие (6.33) условие 0=0=а будет означать со=0, так что все метрики, обсуждаемые здесь, обязательно имеют расходящуюся (O^feO) изотропную конгруэнцию к.
Следуя Дебни и др. [Debney е. а. (1969)], используем условия
(23.1), (23.2) для нахождения преимущественной тетрады и подходящей системы координат. Начнем с тетрады (m', ш', Г, к'), в которой фиксировано только направление к'. Условия (23.1) и
(23.2) остаются неизменными при тетрадных преобразованиях
(3.15) — (3.17), которые имеют вид:
k' = k, m' = m + Bk; Ґ=1 + Вт+Вт + ВБк; (23.3)
k'=k; m'=elcm; l'=l; (23.4)
к'=Лк; m'=m; Y=A-1I, (23.5)
так что эти преобразования можно использовать для упрощения форм связности.
Преобразование (23.3) переводит спиновый коэффициент т= =—Гмз=—ка-ьта1ь в т'=т+Вр. Так как рфО, то т всегда можно обратить в нуль, тогда имеем
И = Т=СГ=0=Г 144=Г 143— Tl 41, (23.6)
т. е. форма связности Ги есть просто
Гі4=—PO2=—Г41, T142=-P. (23.7)
Тетрадные компоненты тензора Риччи Rab=Rcadb(mcmd-\-+mcmd—kcld—kdlc), которые равны нулю в силу (23.2), можно выразить через тензор кривизны следующим образом:
/?44=2/?М24=0; /?41=/?1421+/?1434=0; /?11 =2/? J 431 = 0. (23.8)
Как уже говорилось, рассматриваемые метрики являются алгебраически специальными, т. е. T0 и Ti равны нулю:
To=^hh=O; 2^1=2^,434—Rxi=RiiZi—І?і42і=0. (23.9)
Уравнения (23.8) и (23.9) показывают, что из тетрадных компонент тензора кривизны Rncd остается ненулевой только Rn23. Таким образом, соотношение (3.23а) между связностью и кривизной теперь имеет вид:
Л\, + Г41 л (Гг,-)-Г4з):= A4123O1Aft)3. (23.10)
230
Из (23.7) и (23.10) получаем
T41Adr41=O1 (23.11)
что является условием интегрируемости для существования комплексной функции ?, такой, что ^Г.ц=—dt, см. (2.43). Поворот
(23.4) при р=р' и Г'.и=еІСГ4і можно использовать, чтобы сделать функцию действительной, а с помощью подходящего преобразования (23.5) при Г/41=ЛГ41 получаем SIbJk1 = SIb|4=0. [С помощью (23.5) можно добиться, чтобы &=\, но пока не будем использовать эту специальную калибровку.] Уравнения (23.7) тогда примут вид:
(лг = ы'= -dq SPp = VJ9-, $> = ,9-, SP14=0. (23.12)
Используя (2.72) и (23.12), можно привести da2 к виду
dot2 =TtbcOib А юс = — (lnSlbp)w(ab А (23.13)
и вычислить (23.10), (23.12) и (23.13) и комплексно-сопряженные им величины. В результате имеем:
Г !зі=Г із4=Г і24==Г434=0=А=л=є; (23.14)
