Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ir2 = аа + рр — 2а р -f Ф„ = тг;
(21.11)
ЧГг = х (р — а — г) = — 2тт
дают противоречивые результаты. Следовательно, должно выполняться условие т=0, где
T = —ka;bma Ib =Patna=0; ka<b=A(u)kakb (21.12)
(заметим, что ^kaib = O), т. е. существует ковариантно постоянный изотропный вектор, параллельный к (см. § 6.1). Аналогичное условие можно получить для полей чистого излучения Фц=0.
Теорема 21.2. Вакуумные поля, поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого излучения, допускающие группу движений, действующую транзитивно на N3, представляют собой плоские волны (см. § 21.5).
Cm.: [Lauten, Ray (1975), (1977); ? Kramer (1980)].
21.3. Группы G2 на N2
Пространства-времена, допускающие изотропный вектор Киллинга, будем обсуждать отдельно в следующем параграфе. Поэтому полагаем, что группа G2, действующая на двумерных изотропных поверхностях N2, не содержит изотропный вектор Киллинга.
При таком предположении два пространственно-подобных вектора Киллинга I и ті стягивают изотропную поверхность N2, т. е.
Maev=O. (21.13)
В любой точке на N2 имеется единственный изотропный вектор, касательный к N2:
k=l—fin, Q^(TPlc)-ISb11b (21.14)
{сравните с похожим выражением (17.18) в случае стационарных аксиально-симметричных полей]. Изотропное векторное поле к ортогонально к двум векторам Киллинга
k°la=b=kar\a (21.15)
и обладает свойствами:
VZma = (Tfytc)-uSa + iqa; =0; qaka = 0; <fq0=l (21.16)
215
которые можно проверить с помощью уравнений Киллинга, коммутационных соотношений для I и г) формулы (21.13). Уравнения
(21.16) выполняются для обеих групповых структур G2 I и G2II
(CM. § 8.2).
Вводя информацию (21.16) о к в уравнение (6.32), вновь из
(21.4) вместе с (21.6) можно сделать вывод, что изотропное векторное поле (21.14) является бесследовым и не имеет растяжения: 8=<т=0 [функция Q в (21.14) удовлетворяет соотношениям Ql0Aa=O=Qj0OT0]. Из условий (21.6) следует, что к является собственным вектором тензора Риччи. Поэтому из теоремы 7.1 снова следует вывод, что если вакуумные, эйнштейн-максвелловские и чисто радиационные поля допускают группу движений G2 на N2, то они алгебраически специальные.
Теорема 21.3. В пространствах-временах, допускающих группу на N2, существует бессдвиговая, невращающаяся и нерастяжимая конгруэнция, а метрику можно преобразовать к виду
ds* = 2p-VfCdC-- 2du (dv-f WdH + +Hdu), (21.17)
где P и Я —действительны; W — комплексно; Р,ъ=0; №,„„=0. Калибровочные преобразования
u' = h(u)\ V = vfh_u-\~g(С, ”С, и); С'= C'(С. и), (21.18)
сохраняющие форму линейного элемента (21.17), можно использовать для приведения векторов Киллинга | и ц, удовлетворяющих соотношению (21.13), к простой форме
11 = (?*; t = udx-\-S(u, у)дх\ ]/ТС = л:4-іг/. (21.19)
Эти векторы Киллинга обязательно коммутируют. Метрика (21.18) не зависит от х, а оставшиеся уравнения Киллинга влекут за собой Wv=^=O.
Вакуумные поля, допускающие G2 на N2, даны в работе [? Ватрі, Cianci (1979)].
21.4. Изотропные векторы Киллинга (Gi на Л^)
Важное соотношение (6.32)
0 «о* + 6* + оо = --і-/?а(,№ (21.20)
примененное к изотропному вектору Киллинга к, дает
Rabkakb=2<s>2. (21.21)
Очевидно, что для вакуумных решений, а также для полей Эйнштейна — Максвелла и чисто радиационных полей, для которых к является собственным вектором тензора Rab, изотропный вектор Киллинга всегда не имеет вращения (to==0). Нам известны не эйнштейн-максвелловские поля, допускающие изотропный вектор Киллинга с вращением. Решения для идеальной жидкости не могут допускать невращающийся изотропный вектор Киллинга, за исключением случая, когда ц+р=0. Алгебраически специальные 2(6
решения для идеальной жидкости с вращающимся изотропным вектором Киллинга рассматривал Чайнрайт [Wainwright (1970)]; они допускают абелеву группу (?2- Модель вселенной Гёделя
(10.25) допускает два изотропных вектора Киллинга dv±dt с отличным от нуля вращением.
Цель этого параграфа — построение пространственно-временных метрик, допускающих изотропный вектор Киллинга без вращения:
Awb)=0; Ma = O; VVi=0- <21-22)
Из этих условий следуют соотношения
ka=-wU' а; ka:b=wAji'by, U aWa = Q. (21.23)
Введем координаты Xi= {х, у, v, и), аналогичные использованным в (21.17), такие, что компоненты изотропных векторов Киллинга определяются формулами
?’ = 6-3; ?,= —шбИ; (21.24)
а координаты хну нумеруют точки пространственнр-подобных 2-пространств V2 ортогональных k [Kundt (1961)]. В силу независимости от и метрику можно преобразовать к виду
ds2=P~2(dx2-\-dy2)—2du (wdv—mdx-\-Hdu), gij,v=0 (21.25)
(см. § 27.2).
Можно показать, что условия (21.22) несовместны с уравнениями Эйнштейна — Максвелла для неизотропных полей. Следовательно, можно ограничиться анализом изотропных электромагнитных полей
Fab=Mlh'a] = 2rlakbh rak‘= 0 (21.26)
и вакуумных полей. Изотропный вектор Киллинга к представляет собой собственный вектор тензора Риччи с нулевым собственным значением:
RaJtb = kb¦а. ь = (wlbwal). ь = 0. (21.27)
