Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
для метрики (20.26) равны:
V4T2Fep = S. р; KV2Fet = Oft;
(20.28)
VtfiF4t = We-2\ р; )/V2 Fn = We-*ц. „
откуда следует удовлетворение условия Tr-^-T1t=O. Взяв W = р, получим с помощью подстановки t—*iz, из уравнении
14—99 209
(17.26) - (17.33):
Ut pp +P" 1Ut - Utt = - є"*7 (0 р* — 0.,* + х - г ,•); (20.29а)
9 рр + Р" ’9 р - 0. и = 2 (Ut р0, р - Ut ,0.,); (20.296)
\ рр + P‘ Ч р - V. и = 2 (Ut д р - Ut ,і).,); (20.29b)
* р = P (U. P2 + и. Л + Ре_21/ (в. р2 + 0. ^ \ р8 + 1J. Л; (20.29г)
k < = 2pt/>pt/.H-2pe-2U(0>pe.< + 7)>p11.<); (20.29д)
1I.*9 Р-1U9.* =0- (20^29e >
Из последнего уравнения следует, что либо 1) один из потенциалов, 0 ИЛИ Т|, должен быть постоянным (и может быть обращен в нуль с помощью калибровочного преобразования), либо 2) потенциалы являются функциями друг друга, т)=т|(0). Первый вариант содержится в качестве частного случая в метрике (20.32) и (20.33) ниже. При tj=t|(0) уравнения (20.296) и (20.29в) являются совместными, лишь если
(0* р — 0е. JdtTlIdQt=0. (20.30)
Для изотропных электромагнитных полей первый сомножитель в (20.30) равен нулю:
FabFab=0=> 0* р - 0*, , = 0. (20.31)
В таком случае потенциалы 0 и ц суть произвольные функции и = = (/ —р)/1/2 или о = (<4-р)//2.
Общие решения этих уравнений поля имеют вид [М. Misra, Kadhakrishna (1962)]:
<fe*=p-,'2exp[-|23/2 J(0, + Tj*)d«](dpt-d<*) + p(d<p,+dz*). (20.32)
тде 0=0(и), tj=ti(u) (точкой обозначена производная по и) или, аналогично, 0=0(у), ті=ті(о).
В случае неизотропных электромагнитных полей из соотношения (20.30) следует, что потенциал Ti должен зависеть от 0 линейно:
0=4fcos <i; Ti=^Fsina; a=const. (20.33)
Уравнения поля (20.29а)—(20.29в) записываются через потенциал W как
V. рр + Р',у.р — Ut „=e-2U ОГ., - р);
(20.34)
* рр + Р’Т р - * «=2(1/ ,V р - Ut #ЧГ. ,).
С точностью до комплексной замены 2-й/ эти уравнения
имеют в точности такой же вид, как и уравнения (17.38) для стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей.
2Ю
Теорема 20.1. С помощью подстановки
f-мг, z-+\t, 2U^U, (20.35)
из стационарного аксиально-симметричного вакуумного решения (U, со) (в канонических координатах Вейля) можно получить сог ответствующее цилиндрически-симметричное поле Эйнштейна — Максвелла (U, 1P).
Так, например, решение [Radhakrishna (1953)]
W=p, W=at; eF=ab~lpch(b In р) (20.36)
принадлежит классу, соответствующему классу Льюиса (см. § 18.4) через подстановку (20.35).
Метод генерирования решений, описанный в § 30.5, применим также при наличии двух пространственно-подобных векторов Киллинга. Харрисон [Harrison (1965)], Мисра [М. Misra (1962b, (1966)] и Сингатуллин [Singatullin (1973)] генерировали цилин-дрически-симметричные волновые решения уравнений Эйнштейна— Максвелла из вакуумных решений.
Если положить [Harrison (1965)]
U=U (rj); 1P=In р— J Q (г|) t/rj, ch r\=t/p, (20.37)
то уравнения (20.34) сведутся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
Q/=2?/'(Q+chrl);
(20.38)
Q2_l_e2^((//>+C) = l, C=const.
Гаррисон [Harrison (1965)] обсуждал частное решение, для которого C=O1 U=0, Q=—1.
Поля чистого излучения с метрикой (20.26) (Н?=р) описываются уравнениями [Krishna Rao (1964)]:
u.„ + r'U'(-U'tt=o-,
(20.39)
р “1“ * ~ P (^, р “Ь #)*•
Прочие уравнения поля при этом удовлетворяются автоматически. Таким образом, ив всякой волны Эйнштейна — Розена (Uo, k0) можно генерировать метрику (U, k) для поля чистого излучения, взяв
U = U,; k = k. + f(u);VTu = t- р,
(20.40)
U = U0; k = k, + g(v); Y2v=t + 9.
Этот результат можно распространить на метрику (20.1), где Аф ф0 [Krishna Rao (1970)]. Поле чистого излучения
ds2=e2A<u> (dp2—dt2) +P2d<p2+fite2, (20.41)
14* 211
генерируемое плоским пространством-временем (U0=Iiii=O), обладает тензором Вейля типа N [Krishna Rao (1963)J. Взяв решение
(20.32), мы вндим, что поле, генерируемое с помощью (20.40), удовлетворяет уравнениям Максвелла, лишь если Gtu=P.
Cm.: [Kompaneets (1959); К. P. Singh е. а. (1965); Lai, Prasad
(1969); Roy, Tripathi (1972)].
20.5. Решения для идеальной жидкости
Для специального уравнения состояния p=\i и поля 4-скорости без вращения уравнения записываются как (15.10) и (15.11). Летельер [Letelier (1975)] применил эти уравнения к случаю движущейся радиально цилиндрически-симметричной идеальной жидкости при р=ц. Удобно пользоваться системой координат (20.26).
При чисто радиальном движении жидкости, т. е. когда о= =°(р. О- условие Tff-JrTtt=O выполняется, и уравнение /??-{--[-/?%= 0 легко интегрируется;
w=f(t-p) +g(t+p). (20.42)
Уравнения о’ “ = 0 и R* — Rzz = 0 приводят к двум совпадающим линейным дифференциальным уравнениям для о и U:
(Wo, t), t - (Wo Д p=0, (WU, t), t - (WU Д p=0, (20.43)
а остальные уравнения поля дают выражение для функции k в метрике (20.26) в виде криволинейного интеграла. Теорему 15.1 можно применить для генерирования решений для идеальной жидкости с уравнением состояния р=\х. из вакуумных, решений.
