Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Q= Л (eer, + e~V,+ 2от) (19.5)
In и гг — те же, что в решении (18.9), а Л и а — действительные постоянные]. Обобщение этого решения на случай внешнего поля вращающегося заряженного источника будет указано в явном виде в § 30.5.2. Асимптотически плоское вакуумное решение из класса Херльта (19.4) есть решение Дармуа (18.9). Недавно Херльт [Herlt (1979а)] обобщил этот класс, включив асимптотически плоские решения для электровакуума, переходящие в решение Шварц-
192
шильда при стремлении к нулю электростатического поля. Асимптотически плоское трехпараметрическое решение было указано Боннором [Bonnor (1979а)].
см.\ [Bonnor (1954); Tauber (1957); Misra (1962а); Perjes
(1968); Misra, Pandey (1973)].
19.1.2. Общий класс и его предельные случаи
Интервал, полученный Плебаньским и Демяньским [Plebunski, Demianski (1976)] (см. также [Debever (1971)]):
ds2=( I-pq) 8 [ dp2 + ^ + ^ dq' + р2 Х+^ {dx Ar q'do)1 -
X=X (/?) = (—Y — А/6) + 21 р - єр! + 2mp' -
-(є*+ї+ л/6)/>4; 09-6)
Y = У (?) = (еш + у - А/6) - 2т? + ^ - 2/^ + (g* - Y - A/6) q4
описывает класс решений уравнений Эйнштейна — Максвелла (с учетом космологической постоянной Л). Эти решения допускают (по меньшей мере) группу Gz с коммутирующими векторами Киллинга дх и да. В некоторых координатных окрестностях вектор дх временно-подобен, а переменную а можно трактовать как азимутальную координату — решения стационарны и аксиально-симметричны. Кроме космологической постоянной метрика (19.6) содержит шесть действительных параметров: т и I — суть масса и параметр НУТ [см. (18.20)], у и є связаны с моментом импульса, отнесенным к единице массы, а и с ускорением Ь\ е и g — электрический и магнитный заряды. В комплексной изотропной тетраде, связанной с выделенными изотропными направлениями
Y-'tfd,-da) + dv (19.7)
единственная отличная от нуля тетрадная компонента тензора Вейля равна
*.=-<*+«>+*•>(Ш(19-8)
Поэтому решения относятся к типу D по Петрову (или типу 0), см. (4.25). Пространство-время является плоским, если т=1=0, e=g=О, Л=0. Комплексный потенциал Ф (построенный относительно вектора Киллинга дх) и комплексный инвариант неизотропного электромагнитного поля равны:
.« + Ig
Ф =
q + ip’
K0F*abF*ab = 8F- ’Ф. вф. “ = - 8 (е + і gf (19.9)
13—99 193
Из общей метрики (19.6) можно получить некоторые известные классы решений, если применять предельные переходы (см. §30.6). Мы дадим два примера таких «сверток», включающих одновременно преобразование координат и переопределение постоянных. Случай I.
Рассмотрим масштабное преобразование
q-+n~xq\ о->-д3о, т-*-пт; (19.10)
m+iZ-^n-3 (m+il); e+ig-^n-^e-f ig); є-і-п^є; у-*-А/а-*-п~*у, Л-»-Л, перейдем к пределу я->-оо и получим из (19.6) метрику
ds'= ^xQi dpt+ Ql dq' + VTgr + qtda^ ~
- ?Y+qi-{d*~P*doy-
^=Y-^ + 2/p-ep*-A^/3;
Y = f + e*-2mq-^eqt-Aq4IS. (19.11)
Эта метрика была подробно исследована Плебаньским [Plebanski
(1975)]. В нее входит семейство полей Эйнштейна — Максвелла, найденное Картером [Carter (1968а,b)], который рассматривал пространства-времена с абелевой группой движений Ог, допускающих разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Кроме (19.11) (где g=0) Картер нашел и другие семейства, также являющиеся предельными случаями общей метрики (19.6). Заметим, например, что решение Бертотти — Робинсона (10.16) можно получить из (19.6) методом свертки [Bertotti, Robinson (1975)]. Кроме Л метрика (19.11) содержит пять действительных параметров [е можно свести к значениям е=0, ±1 с помощью масштабного преобразования (19.10) при конечном л]. Для А=0, е=1 из (19.11) следует метрика
(Is = (P1-^qt) (db* + {dt + q'daf-
- -/+^rid*- p'dc\'-
P = I — Cl cos 6; A1 = Y- g* + **; Y=at^-et-{-g,-lt-2mq-{-q\ (19.12)
включающая, в свою очередь, в качестве важного частного случая (l=g=0) известное решение Керра — Ньюмена, которое будем
194
специально обсуждать в § 19.1.3. Координатное преобразование
q = r; р = —a cos 0;
(19.13)
а=—ф/а; т=/+аф
придает метрике (19.12) вид (19.19), причем кратные главные изотропные направления (19.7) равны (19.18) (с точностью до нормировки).
Случай II.
Произведем подстановку в метрике (19.6):
p-*-n~lp; <—nq~l; a-vn_1a, т-*-и_1т;
/—>~nl, е-+п2е; т-^-пгт; (19.14)
е+ Xg-^n2 (e + ig); y—yy + n^g2; Л->-Л.
Переходя к пределу я-voo, получаем интервал
ds'=(p + q)-' + Xdo* - Yd^-
X= (т - л/6) + 2Ip - ер' + 2тр> - (ег + g1) р*;
У = - (Y + Л/6) + 2 Ig + sq* + iIrruf +.(g* + g') ?- (19.15)
Такие пространства-времена являются обобщением вырожденного статического вакуумного поля, обозначенного в табл. 16.2 как С-метрика. Возьмем теперь случай Л=0, е=1, g=0. Параметр I можно обратить в нуль простым преобразованием координат. Тогда преобразование (у=Ь2)
q — r~'-\-bx; p = — bx;
(19.16)
a =Zfb-, ч = u—^Q~'dq
переводит метрику (19.15) в
ds2=r2(G~ldx2-{-Gdz2) —2 dudr—2 br^dudx—2 Hdu2;
G=I —х2—2 mb X3—e2b2x4;
2 H= I—2mfr + e2Jr2—b2r2G + brG' +
-\-6mbx-\-6e2b2lx2—4 be2x/r. (19.17)
