Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Такое гравитационное поле генерируется двумя равноускоренными заряженными точечными массами, причем b является параметром ускорения [Kinnersley, Walker (1970); Walker, Kinnersley (1972);
/ /
Plebanski, Demianski (1976)]. Отметим, что параметр b можно приравнять нулю в метрике (19.17), но не в (19.15), так как Ь явно входит в преобразование (19.16). Взяв в (19.17) Ь=0, получим решение Райснера — Нордстрема относительно координаты за-13* 195
паздывающего времени и [ср. с (13.17) и табл. 13.1]. Сингулярность между источниками устраняется в более общем решении [Ernst (1976а)], содержащем добавочный параметр, который описывает электрическое поле, ответственное за постоянное ускорение зарядов.
Таблица J9.1. Стационарные аксиально-симметричные поля Эйнштейна—Максвелла
т I а ь е S А Ссылка
X X X X X X X / » [Debever (1971); Plebanski. Denianski /1Q7fi\ 1
X X X X X X [Kinnersley (1969b)]
X X X X X X [Plebanski (1975)]
X X X X X [Demianski, Newman (1966)]
X X X X X I
X X X X X } [Carter (1968a, b)]
X X X X J
X X X [Brill (1964)]
X X X [Newman e. a. (1965)]
X X [ Bertottl (1959); I. Robinson (1959)]
X X [Reissner (1916); Nordstrom (1918)]
Примечание. Отличны от нуля только параметры, помеченные крестом (X) в соогветствующих решениях.
/ /
В табл. 19.1, заимствованной из [Plebanski, Demianski (1976)], перечислены частные случаи метрики (19.6), публиковавшиеся ранее.
Cm.: [Weir, Kerr (1977); Debever (1969, 1976)].
19.1.3. Решение Керра — Ньюмена
Ньюмен и др. [Newman е. а. (1965)] применили к предпочтительной комплексной изотропной тетраде в решении Керра комплексную подстановку (см. § 30.6) и пришли к комплексной изотропной тетраде:
*'=(1,0. а/А, (гг+аг)!Д);
Ii--J- (ri-|-a*cos*0)"I(—0. я. '¦‘ + Л1);
(19.18)
/га' = 2 1/2 (г1+ia cos 0)-40, I, \а sin 6);
Л == г1а*е* — 2 тг
(x' = r,' jc* = 0, JC* = <р, X*=t), описывающей решение уравнений Эйнштейна—Максвелла. Соответствующая метрика имеет вид:
ds*=(r*-|-fltcost0)^-^-+d0tj-fsin* 0 ?г* -j-a1 +
196
a2 sin2 8 /0 j, I , і (. 2mr — ё1 \
( - в») j V - (I - X
T2 + A2COS2 9
x^s - /+'we(2mr2 - e')didV- (19-19)
При e=0 она переходит в метрику Керра (18.25). Решение Керра — Ньюмена, возможно, описывает внешнее гравитационное поле вращающегося заряженного источника; оно содержит три действительных параметра: т (масса), е (заряд) и а (момент импульса еа единицу массы). Обсуждение геометрии Керра — Ньюмена можно найти в [Misner е. а. (1973); Carter (1972)].
Единственными отличными от нуля компонентами тензоров Вейля и Максвелла [относительно изотропной тетрады (19.18)] являются
™ ___ m(r + ia cos 8) — е2
2 (г — la cos 8^3 (г + і a cos 8) ’
(19.20)
УЧ/2 Ф, = 4
2 (г — iacosS)2
Решение Керра — Ньюмена относится к типу D по Петрову; его электромагнитное поле неизотропно. Спиновые коэффициенты для этого поля приведены у Бозе [Bose (1975)]. Комплексные скалярные потенциалы Ф и S для метрики (19.19) относительно вектора Киллинга ?=<?( равны
Ф =-------f----г: ё= 1---------^l-T, (19.21)
г—ia cos 8 г — m cos 8 * '
так что S является линейной функцией Ф. Как видно из формы Ф, магнитный дипольный момент обращается в нуль как при отсутствии вращения источника (а=0, решение Райснера — Нордстрема), так и при его электрической нейтральности (е=0, решение Керра).
Решение Керра — Ньюмена при \е\=т является конформностационарным (см. § 16.7) и может быть получено из решения уравнения для потенциала AV=O [см. (16.73)]:
у — (\---------1-----V’ — l 4- — ¦
у [ г — ia cos 9 J — R ’
R1 = Pt + (z- ia)*- (19.22)
P = У (г — т)г + а* sin 0; Z = (г — т) cos 0.
Суперпозиция N коллинеарных источников Керра — Ньюмена, для которых гравитационное притяжение и электростатическое отталкивание компенсируют друг друга (|ел| =гпа, A=I, ..., N), а спины направлены параллельно или антипараллельно оси симметрии, приводит к выражению
N
V=I +R2A = p*+(z-lJ*. (19.23)
A=I А
197
Действительная и мнимая части Ia дают соответственно положение источника А на оси г и его момент импульса на единицу массы. Для N=2 был получен явный вид метрики [Parker е. а.
(1973)] и [Kobiske, Parker (1974)]. Условие регулярности (16.74) требует, чтобы Im [ті+тітг(/і—Іг)-1] =0=lm(mi-fm2). Для двух одинаковых источников с противоположной ориентацией спинов (действительные Zn1=Zn2; U = —/2) сингулярности на оси между этими частицами отсутствуют. Вообще говоря, суперпозиция
(19.23) решений Керра — Ньюмеиа при \е\=т приводит к появлению голых сингулярностей [Hartle, Hawking (1972)]; метрики для черных дыр с необходимостью принадлежат к статическому подклассу (U действительно), найденному Папапетру [Papapetrou (1947)] и Маджумдаром [Majumdar (1947)].
19.1.4. Изотропные поля и поля чистого излучения
Все случаи полей Эйнштейна — Максвелла, рассмотренные в этой главе, содержат неизотропное электромагнитное поле. В изотропном случае, а также в случае полей чистого излучения стационарные аксиально-симметричные решения допускают изотропный вектор Киллинга (см. § 21.4) [Giirses (1977)].
