Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
2D (А, « + С гр - 2В ег) -DteAwa-- Di С, р - BAt f, , +
+BA, гС9+2САш B2 +2AC, Д р - 4ВВ< В, г = 4D*; (17.46) A = -M м +kt р/Р; В = 2k г/р;
С = -2kAA-kf!P-, D = AC — В*.
Потенциал ? можно построить, исходя из данного (непостоянного) решения для k с точностью до фазового множителя ?->е1а? (если не считать чисто координатных преобразований).
Другие формы этих уравнений поля указаны, например, в работах [Chandrasekhar (1978); Kramer, Neugebauer (1968b); ? Сох, Kinnersley (1979)].
Сравнение уравнений (17.38) и (17.41), а также очень похожих на них уравнений (17.35) для электростатических полей приводит к следующей теореме.
Теорема 17.3. При заданном стационарном аксиально-симметричном вакуумном решении (U, и) подстановка [Kramer, Neuge-bauer (1968b)]
S'= -(7'+ 4-klF = (У, А'=іа (17.47)
дает новое вакуумное решение (U', А'), а подстановка [Воппог
(1961)]
U'=2U, x=ico (17.48)
дает статическое решение (U', х) уравнений Эйнштейна — Мак-
свелла.
Эти новые решения будут действительными, если удастся аналитически продолжить входящие в них параметры таким образом, чтобы скомпенсировать мнимую единицу, фигурирующую в подстановках.
Применяя к стационарным аксиально-симметричным вакуумным решениям формализм Ньюмена — Пенроуза (см. гл. 7) и вы-
181
бирая в качестве действительных изотропных направлений k и / линейные комбинации векторов Киллинга 1 и щ, придем к выводу, что эти решения не могут относиться к типу III по Петрову. Решения типа II являются членами класса, для которого A2=W2Ztav (см. § 18.4) [Collinson, Dodd (1969)].
Глава 18
Стационарные аксиально-симметричные вакуумные решения
В этой главе дан обзор известных стационарных аксиальносимметричных вакуумных решений. Читатель может найти некоторые решения, не указанные здесь в явном виде, в гл. 30. Стационарные цилиндрически-симметричные вакуумные поля даны в § 20.2.
18.1. Статические аксиально-симметричные вакуумные решения
(класс Вейля)
Если предположить, что один из векторов Киллинга, допускаемых метрикой (17.15), например ортогонален гиперповерхности, то А можно положить равным нулю, так что второй вектор Киллинга также будет ортогональным гиперповерхности. Такие статические аксиально-симметричные вакуумные решения [Weyl (1917)] инвариантно характеризуются существованием двух векторов Киллинга ? и Kj, удовлетворяющих условиям:
5W Ь) = °; ^A1=O; <0;
1I(«г,»=0; ViIt]=0; V4>0; О8-1)
г-7Itr = 0-
Так как в этом случае потенциал вращения со равен нулю, функция Г=—е2с/ действительна, и уравнение Эрнста (17.39) сводится к уравнению для потенциала AU=O, где U — действительная функция, не зависящая от азимутальной координаты ф. В канонических координатах Вейля (17.20) уравнения поля для статических аксиально-симметричных вакуумных решений имеют вид:
м)_ м = 0;
(18.2)
*Р = Р {и,?-и.ггУ, *г = 2р UtfUtz.
Функцию ,k можно вычислить с помощью криволинейного интеграла. Хотя дифференциальное уравнение AU=0 и является линейным, уравнения для & сохраняют нелинейность уравнения Эйнштейна. Условие регулярности (17.2) в случае статических аксиальносимметричных вакуумных решений означают Iim k=0.
182
Два решения, принадлежащие классу Вейля, вполне эквивалентны друг другу, если функции U и k для этих решений отличаются лишь аддитивными постоянными.
Уравнение для потенциала AtZ=O можно решать в разных координатах в евклидовом 3-пространстве. В сферических координатах (г, 0) асимптотически плоские решения имеют вид:
U =2 апг~(П+1) Рп(сos 6);
л=0
/г=— 2 аіат^Лг U(w+ I) + ^ + X
I. т—0
Хг-|'+»+*1(РД-Р,+Д+1), (18.3)
где Pn=Pn (cos 0)—полиномы Лежандра. Простейшим является решение
U=—m/r\ 2k=—m2sin20/r2 (18-4)
[Chazy (1924); Curzon (1924)]. Хотя потенциал U — сферически-симметричное решение уравнения AU=O, решение (18.4) в целом не является сферически-симметричным. Позднее для отыскания новых точных стационарных решений были использованы вытянутые эллипсоидальные координаты (х, у) (см. § 18.5). Эти координаты связаны с каноническими координатами Вейля (р, z) соотношениями [Zipoy (1966)]
р=ст(л;2—1)1/2(1—у2)1/2, z=axy, G=const,
2ах=г+-\-г~, 2ау=г+—г~, (18.5)
r2±=p2+(z±o)2,
dp2IJrdz2=a2(x2—у2) [(х2—1)_1<іл:2+(1—y2)~xdy2]. (18.6)
Поверхности X=Const и y=const соответственно ортогональны семействам эллипсоидов и гиперболоидов. Частный вид решений Вейля, для которого
ем [(X- 1),'U + 1)]\ (18.7)
был исследован [Voorhees (1970)] и [Zipoy (1966)]. При 6=1 функция (18.7) описывает решение Шварцшильда, которое выражается в канонических координатах Вейля (р, z) как ^
[в (18.5) следует положить о=т]. При 6=2 функция (18.7) описывает решение Дармуа [Darmois (1927)] с потенциалом
u=ta(^?ft?)i',-“p,+(,--?),> <|8-9> где т — снова параметр массы [в (18.5) следует положить о= —т/2].
Линейная суперпозиция N коллинеарных частиц с массами Ша, расположенных при значениях Ьа координаты г, соответствует значению [Israel, Khan (1964)]
N
ImS ^ = ~4~ А+ Гв~ ^4+ ^b- ^ Гв+ ^A- 1B+ ) X
