Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(F*ailaTlb);d=i ^abcdIaTIbZc=O. (17.13)
Итак, конструкция F+ObSaTlb постоянна и равна нулю на оси вращения. Поэтому
= 0 = (17.14)
(В электродинамике в плоском пространстве-времени это соотношение означает обращение в нуль азимутальных компонент векто-
175
ров напряженности электрического и магнитного полей.) В свою очередь, из соотношения (17.14) следует (17.6).
Если в геометрии Эйнштейна — Максвелла вне источников два вектора Киллинга | и tj удовлетворяют условиям (17.1), (17.3) и
(17.5), то поле Максвелла обладает той же симметрией, что и пространство-время: ZCiFab-O= Fab [Michalski, Wainwright
(1975)].
17.3. Метрика и проекционный формализм
Теорема 17.1 играет важнейшую роль при коиструироваиии точных решений уравнений Эйнштейна. Если привести систему координат в соответствие с векторами Киллинга, то интервал для стационарного аксиально-симметричного поля, допускающего 2-пространства, ортогональные векторам Киллинга ?=<?< и при-
водится к виду [Lewis (1932); Papapetrou (1966)]
ds2=^ (yMNdxMdxN+ W*d<p2) -Q2u (dt+Adq>)2, (17.15)
где функции U, уми, WhA зависят только от координат хм= ==(х\ JC2), нумерующих точки на 2-поверхностях S2, ортогональных орбитам. Вид интервала (17.15) не изменяется при преобразованиях
хм'=хм'(хк); t'=at+b<y, y’=cy+dt, (17.16)
где а, ..., d — постоянные. При преобразованиях координат хм'= =хм'(xN) функции W, U и А ведут себя как скаляры. Метрика
(17.15) зеркально-симметрична относительно отражения (/, <р)->-->(—<, —ф).
Метрика (17.15) является частным случаем (16.22) [включая и конформное преобразование (16.24)], описывающим стационарные аксиально-симметричные поля, удовлетворяющие условиям
(17.5). В системе координат, соответствующей (17.15), скалярные произведения векторов Киллинга равны:
IaIa=-Q2u-, T\a1\a=Q~2uW2—Q2uA2-,
ta-4a = -e2UA-, Wt = - (17.17)
Векторы I и i| не являются, вообще говоря, ортогональными гиперповерхностям. Легко, однако, удостовериться в том, что [Bardeen (1970)] временно-подобный вектор
S=I (17.18)
ортогонален гиперповерхностям f=const. Вектор ?, в общем случае, не является киллинговым.
Без ущерба для общности в V2 можно ввести изотропные координаты
Умы=&Чмы. (17.19)
176
Кроме того, если W является потенциальной функцией, ее можно привести либо к виду W=xl,jm6o к W= 1, пользуясь преобразованием координат V 2^=х1-\-\х2, не нарушающим изотропности координат. (Случай здесь не будет рассматри-
ваться— к метрикам такого типа мы обратимся в § 21.5.)
Изотропные координаты при W=Xi=р называются каноническими координатами Вейля Or1=P, Jt2=Z, Y 2?=p+iz). В таких координатах пространственно-временная метрика (17.15) записывается так
Ctsi=Z-W [e2*(dp2-f dz>) +PW] — {dt+Ady)2. (17.20)
В случае стационарных аксиально-симметричных полей можно развить проекционный формализм [Geroch (1972)], подобный известному для стационарных полей (см. § 16.1). Обозначим скалярные произведения векторов Киллинга ti=g, !2=4 как
1АВ = иаЫ, A, B= 1,2 (17.21)
и отождествим проекционный тензор
Hab^gab + W-^Um, W=-^xabIab (17.22)
с метрическим тензором на дифференцируемом многообразии Заглавные латинские индексы поднимаются и опускаются с помощью антисимметричных символов (3.65) по правилу (3.66).
Ковариантные производные (обозначаемые через Da) и тензор кривизны Римана на 2г определяются по аналогии с (16.4) и
(16.6) (замена /і0ь-»-#аь).
Если существуют 2-пространства V2, ортогональные орбитам группы, то с ними можно, отождествить 2г> и два скаляра Ca= =гмЫъаШ\ма\ыь%Ас-л обратятся в нуль. Тогда тензор Риччи Rab в Va можно записать через тензоры и метрические операции на V2 следующим образом:
R2ab= (2W)-*XAB,abAB,b+W-'DaW,b+H*aH*bRcd-, (17.23) D0 W-\B' J=y W-^abXcoJco,ь- 2^-’/?oW; (17.24)
HCaUdRcd = O. (17.25)
Cm. {? Kundu (1978)].
17.4. Уравнения поля для стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна — Максвелла
Найдем частичный вид уравнений поля (16.38) — (16.40) для случая стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна — Максвелла вне источников. Предполагая, что электромагнитное ПОЛЄ удовлетворяет УСЛОВИЮ (17.14), F*abla'пь=0, можно исходить
12—99 177
из интервала вида (17.15) (см. теорему 17.1), когда потенциалы S и ф зависят только от пространственных координат в 2-пространствах, ортогональных орбитам группы. Исключительные случаи, например поле аксиального тока, когда нарушается условие
(17.14), рассмотрены в § 20.2.
Все уравнения можно записать в ковариантной форме относительно метрики YitfW. После подстановки —F=ReФФ [(см. (16.35)] уравнения поля (16.39) и (16.40) принимают вид:
(Re S + ФФ) W-1 (WSt м): м = St м (S’ м + 2ФФ’ м); (17.26)
(Re g + ФФ)^-1 (Ц7Ф, м ): м=Фі м (S' М + 2ФФ'м). (17.27)
Уравнения поля (16.38) сводятся к
где К обозначена гауссова кривизна 2-пространства V2, обладающего метрикой умы. Согласно формулам (16.23) и (16.35) функции А и F=—е2и в интервале (17.15) можно выразить через комплексные потенциалы & и Ф как
