Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
{еа> = {еа, 1}, еа-1 = 0, (16.17)
где % — вектор Киллинга, то соотношения (16.15) и (16.16) определяют попросту тетрадные компоненты тензора Риччи относительно 3-базиса {еа} в S3.
При задании тензора Риччи кай Rab = Kt {Тф-----Tga^j мы ви-
дим, что уравнения гравитационного поля Эйнштейна эквивалентны системе дифференциальных уравнений (16.12), (16.13), (16.15) и (16.16).
Если дано четырехмерное многообразие Ж, то, исходя из векторного поля I на Ж (с данными контравариантными компонентами) и решения этих уравнений поля как (Ьаь, F, toa), можно найти соответствующую стационарную метрику
gab=hab-\-F-1%afcb, (16.18)
для которой I является временно-подобным полем вектора Киллинга.
Возможность получения величин Ia (ковариантных компонент) на основании данных (hai>, F, (Oa) доказывается следующим образом. 1-Форму F-l^ddxa можно определить с точностью до полного дифференциала — градиента
F-'ga-vF-'ia+X.a; Ы‘=0 (16.19)
на основании соотношения (16.8),
2(F-\a);b]=f-^abc^ (16-20)
если внешняя производная бивектора (F-1Si0). 6] равна нулю, т. е. если
Sd(O)0. a-2F-'F „(о0) +св^а-SV0=O. (16.21)
Так как .2^(0=0, условием интегрируемости (16.20) является именно выполнение равенства (16.13).
11—99 161
При конкретном вычислении удобно выбрать систему координат, связанную с конгруэнцией ?=<5/, когда *
ds2 = /Iliv + djfdx' + F (dt + Л^)1;
g„=\, + F- Sva = K=fa^ (16-22>
g„=lt=F.
При выполнении соотношения (16.13) величины S (ковариантные
компоненты вектора %) можно найти из уравнения (16.20), принимающего в этой специальной системе координат вид
^^(-РГ3,\^ (16.23)
(для метрики Zzfjkv). Добавочная степень свободы, связанная с выбором калибровочной функции в равенстве (16.19), несущественна и просто соответствует преобразованию временной координаты,
w+z(A
16.3. Конформное преобразование 2 з и уравнения поля
Уравнение (16.16), включающее вторые производные F, можно существенно упростить с помощью конформного преобразования 2з:
ЧOb=Kb=- Fhab- (16.24)
з
Согласно равенству (3.85) тензор Риччи Rab пространства 2, связан с тензором Риччи ^Rab пространства S3 по закону
Kt=L--T
(16'25)
Подставляя это соотношение в (16.16) и обозначая ковариантные производные относительно Yab двоеточием, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 16.1. Полная система уравнений Эйнштейна для стационарных полей приводится к виду
Rab=-TF-tF. /. 6 + «>Л) + *0 - F-1IabKd) (Tcd - -L Tgcd^,
(16.26)
* Монадный формализм (метод) в таких координатных системах, когда конгруэнция линий I совпадает с конгруэнцией линий х° (или t), в отечественной литературе называется методом хронометрических инвариантов (см. Зель-манов А. Л. — Докл. АН СССР, 1956, т. 107, с. 815). — Примеч. род. перевода.
162
FfIa^F-'tb(F, /. * - ®Л) - 2 (г* - 4- Tg06); (16.27)
вв = «=2 F-YbP. а%; (16.28)
FraiX. 6=-2xXJVe. (16.29)
16.4. Уравнение Эйнштейна в вакууме и уравнения Эйнштейна — Максвелла для стационарных полей
В случае стационарных полей в вакууме из уравнения (16.29) следует, что (Oa=O)l0. Факт существования потенциала вращения to был обнаружен Папапетру [Papapetrou (1963)]. Функции F и о можно объединить в комплексный скалярный потенциал [ср. е (16.9)]
Г=—F+ico. (16.30)
Скалярные потенциалы играют важную роль в процессе генерирования решений. Этот вопрос обсуждается в гл. 30.
Уравнения (16.26) — (16.28) переписываются с помощью Г в виде
(16-31а>
В
Г. -" + ^-'YeftTeTb = O. (16.316)
В случае стационарных полей Эйнштейна — Максвелла предположим, что производная Ли тензора электромагнитной напряженности равна нулю. Тогда можно ввести комплексный потенциал Ф:
V^aP*аь = Ф. *; Ф. а*0= 0; F;f = 0. (16.32)
Для тензора энергии-импульса (5.7)
Tab = -YfH^l V4j2F*ab = 2F-'(t[a4>'b])*, (16.33)
правая часть уравнений поля (16.29) принимает вид
- хХ?сршр*ы= - УЩ, ка,/мФ_ d ==
= —2iF- 1Setdc^ Д rf = - 2iFeotc (ФФ с) ь. (16.34)
Поэтому из уравнения (16.29) можно заключить, что комбинация ©c+2i ФФС представляет собой градиент [Harrison (1968)]. Удобно ввести комплексный скалярный потенциал — потенциал Эрнста S — с помощью уравнения [Ernst (1968b) ]:
2. а= - Р. а +Ч ~ 2^. 0 = Га -2ФФ q;
F-ФФ. (16.35)
И* 163
Аналогично тому, как это было в отношении потенциала Ф в (16.32), существование потенциала S обеспечивается уравнениями
?К*аЬ=$' 6; ? а5в = 0; Ktabib = 0;
К*аь = - 25*а. 6 -V^r. **Fab. (16.36)
Подставим теперь выражения
VahdbRcd =2F-* [ф (Д „-4-ТаЬф- «Ф
(16.37)
W6Ka6 = TO Д*
в уравнения поля и исключим (O0 с помощью уравнения (16.35).
Теорема 16.2. Уравнения Эйнштейна — Максвелла для стационарных полей вне источников приводятся к следующей системе относительно метрики у«,г.:
Rab=-Tp-t^. (а+Щ «Ж *) + Щ 6)) + 2^-*Ф. (аФ 6); (16.38) ? Г+^-УЧа11*=0; (16-39)
ф a: а F- УЬФ аГь = 0 (16.40)
[Harrison (1968); Neugebauer, Kramer (1969)].
Уравнения Максвелла вне источников эквивалентны (16.40), уравнения гравитационного поля (16.26)—(16.28) переписаны для комплексного потенциала S в комплексном виде (16.38), (16.39), а уравнения (16.29) тождественно удовлетворяются при введении комплексного потенциала &.
