Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор Риччи, соответствующий метрике (15.3), можно найти, например, у [Wainwright е. а. (1979)]. Для дальнейшего приведем только
[Wm-Wm) =—X0(T33H-^44). (15.4)
В некоторых случаях (вакуумные поля, поля Эйнштейна — Максвелла с Р*аь1аЦь=0, идеальные жидкости с р=ц) тензор энергии-импульса удовлетворяет условию
Т\+Т\=0. (15.5)
153
Тогда из (15.4) получим общее решение
W=f(u) + g(o), V2u = t-z,V2v=t + z -(15.6)
с произвольными функциями g(v) и f(u).
В вакуумном случае, при Л=0 в (15.3), функция 1F удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
(WW,3) ,з-( IPFl4) ,4=0 (15.7)
(см. также § 20.3). Оставшиеся уравнения поля определяют M в виде линейного интеграла.
Из свойств тензора Риччи, соответствующего метрике (15.3), вытекает
Теорема 15.1. Если метрика (15.3) удовлетворяет условию Rab=Ot то уравнения поля
$аь=20,а0,ь, О,а1а=0=О,аГ\а (15.8)
удовлетворяются метрикой ds2, отличающейся от (15.3) заменой
M=M+Q, Qta = 2W (W,bWb)-' *-с (2W,co,a - o,cWJ (15.9)
(доказательство см. в статье [Wainwright е. а. (1979)].
Для идеальных жидкостей с уравнением состояния р=\и и 4-скоростью
Ma= (—CTl6CT.*)-’/Ча, (15Л0)
с равным нулю вращением уравнения поля примут вид [Tabensky, Taub (1973)]
Яаь=2о,ао,ь; Х0/7=Х0Ц=—стіСст-с, (15.11)
а тождества Бианки влекут за собой ст;о;а=0. Теорема 15.1 дает возможность образовать некоторые решения для идеальной жидкости из вакуумных решений. Пример приведем в § 13.6. Уайнрайт и другие с помощью теоремы 15.1 получили множество однородных и неоднородных космологических моделей (см. также § 12.4).
Большинство неоднородных моделей допускает трехпараметрическую группу гомотетий (см. § 31.4) и поэтому являются автомодельными [McIntoch (1978)]. Некоторые решения интерпретируются как гравитационные импульсы в однородной (типа I по Бианки) модели [Wainwright1Marshman (1979)].
Градиент функции W дает возможность характеризовать соответствующие пространства-времена инвариантным образом и, по существу, определяет характер и глобальные свойства решения: W,a — изотропный вектор в случае плоских волн <(см. § 21.5); UP1O — пространственно-подобный вектор для волн Эйнштейна — Розена (см. § 20.3); W,a — пространственно-подобный, временноподобный или изотропный вектор в различных областях гравитационных волн, образующих замкнутые вселенные (см. § 15.3).
154
15.2. Сталкивающиеся плоские волны
Рис. 15.1 иллюстрирует следующую ситуацию: сталкиваются две плоские волны (области II и III), распространяющиеся в противоположных направлениях. Приходящие волны определяют данные на изотропных поверхностях и=0, и>0 и у=0, и>0 и, следовательно (через задачу Коши на характеристическом многообразии), поле в области взаимодействия (заштрихованная область на рис. 15.1).
Точные решения, представляющие столкновение двух плоских гравитационных волн, впервые были получены в работах [Szekeres (1970)] и [Khax,
Penrose (1971)]. Для того чтобы решить эту задачу точно, необходимо сделать два упрощающих предположения: а) существует ортогонально транзитная абелева группа G2, действующая на пространственно-подобных
2-поверхностях [даже в области взаимодействия: обе приходящие волны имеют постоянную поляризацию (см. § 21.5)]. Линейные элементы вобластях II и III (рис. 15.1) можно выбрать вформе[см. (15.3)]
dsг = - 2eMdudv + W (e~v d кг + е“%г), (15.12)
область П:М=М(и), W=W(u), V=V(U);
область III: M=M(v), W=W(v), W=V(v).
Эти предположения вместе С уравнениями ПОЛЯ Rab=O и условиями связи (непрерывность метрики и ее первых производных) на и=0 и v=0 влекут за собой возможность использования общей формы метрики (15.12) во всех областях на рис. 15.1. Функции М, W и ^теперь зависят от изотропных координат- и и и. Изотропные гиперповерхности u=const и U=Const (волновые фронты) пересекаются на пространственно-подобных 2-поверхностях (групповых орбитах).
Точное решение уравнения (15.7), удовлетворяющее условиям связи, дано Секерешем [Szekeres (1972)]. Изучая суперпозицию гравитационных волн, Гриффитс [Griffits (1975)] переоткрыл вакуумное решение (10.14), допускающее просто-транзитивную группу G4- Бел и Секереш [Bell, Szekeres (1974)] получили метрику
ds2=—2dudi+cos2 (аи—bv) dx2+cos2 (au-\-bv) dy2, (15.13)
описывающую зону взаимодействия сталкивающихся плоских волн в теории Эйнштейна — Максвелла. (15.13) точно совпадает с решением Бертотти — Робинсона (10.16), записанным в несколько измененной системе координат.
Cm.: [Griffits (1976а,b); Sbytov (1976); DHalil (1979)].
155
Рис. 15.1. Сталкивающиеся плоские волны
15.3. Замкнутые вселенные, построенные из гравитационных волн
Класс неоднородных космологических моделей, полученный Гоу-ди [Goudy (1971)], допускает абелеву группу G2, действующую иа пространственно-подобных ' 2-поверхностях, тогда как однородные модели вселенной (см. гл. 12) допускают группу G3, транзитивную на пространственно-подобных гиперповерхностях. Вакуумные решения Гоуди описывают замкнутые вселенные, построенные из гравитационных волн. В отличие от плоских волн эти гравитационные волны имеют волновые формы конечной протяженности.
