Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
[McVittie (1929)] представляет собой либо статическую (z— пространственно-подобная координата, m/z+e2/z2>0, У,аУа>0),
либо пространственно-однородную метрику (m/z+e2/z2<0, У,аУа<0) [ср. с (11.42)]. С помощью преобразования координаты z решение (13.26) можно привести к форме, полученной Пэт-наиком [Patnaik (1970)], Летелье и Табенским [Letelier, Tabensky
(1974)]:
dsг = Y2 (z) (dx2 + dy2) + 4-У' (z) (dz2 - dt'), (13.27)
где У (z) определяется в явном виде уравнением
(У—/4)2+2/421п(У+/4)=—Cz, At C — постоянные. (13.28)
Для метрики (13.27) неизотропное электромагнитное поле задается выражениями
= Fu = ±-CtY’Y-'-, А^^-(С 2JrC22). (13.29>
Если У,аУ“>0, то общее плоско-симметричное вакуумное решение [Taub (1951)] определяется статической метрикой [см. (11.51)]
ds2=z~1'2(dz2—dt2) +Z(dx2+dy2), z>0. (13.30)
Случай У,аУ-“<0 ведет к метрике Казнера (11.50) с Pi=D2= =2/3, рз=—1/3:
ds2 = tl'2(dz2—dt2)+t(dx2+dy2), t>0. (13.31)
Плоско-симметричные решения уравнений Эйнштейна с Л-чле-ном можно записать в форме [Novotny, Horsky (1974)]
ds2 = sin4/3 (az) (dx2 + dy2) + dz* — cos2 (az) sin~2/3 (az)dl*-,
(13.32)
а = /ЗЛ/2, Л>0.
Это решение относится к классу решений Картера [Carter (19656)]. Плоско-симметричное чисто радиационное гравитационное поле
ds2=z2 (dx2-\-dy2) —2dudz-\-2m (и) z~ldu2 (13.33)
сходно с (сферически-симметричным) решением Вайдья (13.20). Cm.: [Datta (1967); Carlson, Safko (1978)].
13.5. Решения для пыли
Для пыли групповые орбиты не могут быть временно-подобными (см. теорему 13.3). Будем пользоваться сопутствующей системой отсчета (13.7). Так как соотношение ТаЬ;Ь=(циаиь);а=0 вле-
137
чет за собой v'=0, то начнем с метрики
dsJ = r(r, t) [d»J + 2J (&, ?)<*рг] + е2\(Гі tUrt - e2v wdt\ (13.34)
где E (ft, k) определено как в (13.1). Из компонент тензора Эйнштейна (13.6) (взятых с верхними знаками) только G44=X0Ji отлична от нуля.
При У'фО выберем V=O и проинтегрируем уравнение поля G43=0, что дает
е2Х = Y1 *l[k - sf2 (г)]. е=0, iL 1, (13.35)
где f(r)—произвольная функция, а є выбирается так, чтобы е2* стало положительным. При учете (13.35) получим первый интеграл уравнения G33=0:
Уа-2те(г)/У = -е/*(г). (13.36)
Уравнения G1I=G22=O удовлетворяются тождественно, a G44= =—к0|я дает
X0Ji (г, t) t=2m'IY1Y1. (13.37)
Дифференциальное уравнение (13.36) можно проинтегрировать полностью. Решение для е=0 имеет вид:
t - t, (г) = + -|-У3/2 [2m (r)II/2 , Є =0; (13.33а)
а для ёфО
t-t,{r)=zizh{n)m(r)f-3(.r)\
(13.386)
*=+'•
I sh Tj — т), s = —l.
Теорема 13.6. Общее решение для пыли, допускающее Gз на K2 с У'^0, определяется в сопутствующей системе отсчета в виде
ds* = У* (г, t) IdV + 2* (», k) d?*\ + k^\r) - dt\ (13.39)
где Y задается выражениями (13.38), a m, f и to — произвольные функции г [Lemaitre (1933); Tolman (1934а); Datta (1938); Bondi
(1947); Horsky (1977)]. Отметим, что радиальная координата определяется только с точностью до масштабного преобразования.
Первоначально решения для пыли рассматривали только для случая сферической симметрии (А=+1), а требование У'^=0 подразумевалось. Содержащиеся здесь частные решения — это а) решение Шварцшильда [m=const, ни t, ни г не определены единственным образом; выбор е=0, t0=r ведет к форме Леметра (13.25) J и б) фридмановская вселенная с пылью.
Сферически-симметричная заряженная пылевая конфигурация обсуждалась несколькими авторами; ссылки см., например, в ра-
138
ботах [Viekers (1973); Misra, Srivastava (1974); Rayehaudhuri (1975)].
Для У'=0, Y=Y(t) выбираем Y=t (K=Const ведет к ц=0). Все такие решения обладают свойством Y,aY-a<0. Интегрирование уравнения G33=O теперь дает
Если В (г) равно нулю, то возвращаемся к вакуумному случаю. Предполагая В(г)Ф0, с помощью масштабного преобразования радиальной координаты г величину В можно сделать равной единице. Вводя в качестве новой переменной интегрирования в (13.42) величину x=ev, получаем следующий окончательный результат: Теорема 13.7. Общее решение для пыли, допускающее G3 на Vz с У'=0 в сопутствующих координатах, определяется в виде
Эти решения являются обобщениями решений Кантовского — Сакса (кфО) и метрик, относящихся к типу I по Бианки (&=0), данных к гл. 12 (при изменении масштаба координаты времени) и приспособленных к ним при /4=const [Ellis (1967)].
13.6. Плоско-симметричные решения для идеальной жидкости
Плоско-симметричные статические решения уровней Эйнштейна с идеальной жидкостью, удовлетворяющей уравнению состояния ц=ц(р), описываются выражениями [Taub (1972)]:
Для заданной функции ц=ц(р) дифференциальные уравнения
(13.45) определяют p=p(z) и F=F (z). Решение для р=ц/3 получено Тексейрой и др. [Teixeira (19776)]. В этом случае функции
139
(13.40)
(13.41)
имеющее решение
(13.42)
(13.43)'
Є
2v
Jt0H- (r, t)—-2 (І-j-v)/fe
ds2 = z* (dx1 + dy*)-\-jj~- dzi — е2Чі*;
(13.44)
(13.45)
(13.46)
И/>) + /К = -/Л
р и F в (13.45) даются соотношениями
