Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
х,ц = -3/>(/)=2У7У\ (14.62)
p(t) в (14.61) можно задать заранее, но для исключения возможности обращения сдвига в нуль должно быть запрещено равенство YtY=YY'. При p=const уравнение (14.61) решается в квадратурах.
Решения со сдвигом, но без растяжения. В силу (14.19) решения CO сдвигом, отличным от нуля, HO без растяжения должны удовлетворять уравнению K = 2YJY, Уф0. Вместе с уравнением поля (14.17г) это ведет к
ds* — Y2ClQ2 Y “dr2 - Y4Y2f2 (t) dl2. (14.63)
Уравнение (14.176) показывает, что плотность энергии ц,— функция только координаты г, и, следовательно, уравнения поля (14.17а), (14.17в) запишутся в виде
2У'Т5 + 5У'2У4 + ЗУ-4/-2 + х((|х(г)У2- 1=0; (14.64)
х0/7 = - У -2 + 5У' 2У2 + 2У Т'У 3У -1 + ЗУ - 7 -2 + 2/7 -s У - ‘У -5. (14.65)
Условие изотропии выполняется вследствие уравнений (14.64),
(14.65); jx(r) и /(г) в (14.64) можно задать заранее. Если еще известна величина У, то р можно вычислить из (14.65). Интегрирование уравнения (14.64) при постоянном ц дает уравнение
Yf2Y5-Y-3^it) +XovYzZZ-Y=A (<), (14.66)
которое, в свою очередь, можно решить в квадратурах [Skripkin
(I960)].
151
Решения со сдвигом, ускорением и растяжением. Следует ожидать большого разнообразия сферически-симметричных решений для идеальной жидкости, относящихся к этому наиболее общему классу. Однако до сих пор известно всего лишь несколько частных случаев решений этого типа.
Гутман и др. [Gutman (1967)] нашли в сопутствующей системе отсчета (14.16) решение
= / = 4-(1+Ле' + Ве-‘]. (14.67)
Решение с другим выражением для функции f(t) и уравнением состояния р=ц получил Вессон [Wesson (1978)].
Решение в несопутствующей системе отсчета исследовали ряд авторов [Vaidya (1968); McVittie, Wiltshire (1977)] (не все их решения обладают отличным от нуля сдвигом!).
Группы Gz и Gi с неизотропными орбитами
В этой главе полностью приведены только те известные решения, допускающие G2 или Gi, которые не включены в гл. 16—20. Мы ограничились неизотропными орбитами. Случай G2 и Gi на изотропных орбитах рассмотрен отдельно в гл. 21.
15.1. Групповые структуры G2 и групповые орбиты V2
Нормальные формы пространственно-временных метрик, соответствующих двум различным структурам групп G2, описанным в § 8.2, имеют вид [Petrov (1966), с. 150]:
G2I: gij=gij{x3, Xі), І=<?і, г\=д2]
2-Поверхность транзитивности (орбита группы), натянутая на два вектора Киллинга ? и г|, будет пространственно-подобной или временно-подобной в зависимости от того, будет ли квадрат простого бивектора ?(0 Tjfrl соответственно положительным или отрицательным.
Гл. 17—19 посвящены стационарным аксиально-симметричным полям; они имеют временно-подобные групповые орбиты T2. Ци-линдрически-симметричные поля (см. гл. 20) обладают пространственно-подобными групповыми орбитами S2. В различных областях одного и того же пространства-времени орбиты могут иметь различный характер (временно-подобный или пространственно-
152
Глава 15
(15.1)
ач=ач{х\ х*)\ et = ±\\ & = <?,; ц =JC1^1+ <?,.
подобный); примером может служить поле равномерно ускоренных частиц (см. § 18.2).
В этой главе мы будем иметь дело с физически интересными решениями (сталкивающиеся плоские волны и неоднородные космологические модели), допускающими абелеву группу на про-странственно-подобных орбитах S2, но не являющимися цилиндри-чески-симметричными.
Уравнения поля очень сложны для решения, и поэтому, без дополнительных упрощений, не получено ни одного точного решения ни для одной из метрик (15.1). Дополнительные ограничения, которые можно ввести для упрощения проблемы,— это либо вырождение тензора Вейля, либо существование специальных свойств у киллинговых векторных полей. Группы симметрий известных алгебраически специальных решений систематически не исследовали, и поэтому мы не можем дать полный ответ на вопрос
о том, какие алгебраически специальные решения (см. ч. III) допускают G2 или Gi на изотропных орбитах. В гл. 33 содержится несколько замечаний, относящихся к связи между группами движений и типами по Петрову.
В качестве ограничений на коммутирующие векторы Киллинга можно потребовать существования 2-поверхностей, ортогональных к групповым орбитам (ортогонально-транзитная группа). Тогда векторы Киллинга удовлетворяют соотношениям
*№ 6 =0 = ? ИЛі (15.2)
[см. (6.11) и § 17.2]. Ортогональные к гиперповерхности векторы Киллинга удовлетворяют более строгому условию Ej0.. ь Scl=O = = Tj0. д.], которое, разумеется, влечет за собой (15.2).
Если ортогонально-транзитивная группа G^ действует на про-странственно-подобных орбитах S2, то метрику пространства-времени можно записать в форме
ds*=eM (dz* - dt2) + W [ev (dx +Ady)2 +e-vdy'\, W>0, (15.3)
где все функции не зависят от хну. Функция W определяется инвариантным образом из соотношения W2 = 21[атіь?атіь. Если векторы Киллинга ортогональны к гиперповерхности, то функцию А в (15.3) можно сделать равной нулю. При ^=O=1F из (15.3) вновь получается плоско-симметричный линейный элемент (13.9).
