Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Метрика, представляющая такие модели, совпадает с (15.3) при .4=0, а именно
ds* = ем (<«* - dt1)'+ W (eV + e-"V). (15.14)
Функцию W [см. (15.6)] выбирают в виде UT = Sifl 0 sin t. В случае, когда пространственные сечения имеют топологию сферы, величины 0, X и <р интепретируются как обобщенные угловые эйлеровы координаты. Окончательные пространственно-временные метрики, удовлетворяющие условиям регулярности при 0=0 и 0=я, представляют собой обобщение на неоднородный случай моделей Фридмана. Эти решения имеют начальную и конечную сингулярности при t=0 и t=я (рис. 15.2). 3-Пространства t= = const представляют собой искаженные
3-сферы IGowdy (1975)]. Обобщение на случай с электромагнитным полем см. [Charach (1979)].
15.4. Группа Gi с неизотропными орбитами
Неизотропный вектор Киллинга всегда можно преобразовать к виду %=дп. В этой системе координат метрика не зависит от хп.
Стационарные гравитационные поля (см. гл. 16) допускают существование временно-подобного вектора Киллинга. Формула приведения для тензора Риччи, выведенная в § 16.2, выполняется также в случае пространственно-подобного вектора Киллинга.
В отличие от случая изотропного вектора Киллинга (см. § 21.4) здесь, без дополнительных ограничений, едва ли удастся решить уравнения Эйнштейна. В этом параграфе мы рассматриваем специальные предположения, которые приводят к решениям, допускающим группу Gi (с неизотропными орбитами).
Исходя из требования на форму метрики («связанные пары»)
gii=eibi,A2i(x\ х*)В2і(х3, я4), по і, / суммирования нет,
Рис. 15.2. Вселенная Гоуди: координатная об-
ласть 0«<я, 0<6<я (в=0 и в=я идентифицированы, W',oW''°>0 Bi И II, W а1Г'о<0 в III и IV
156
Єі=Є2=Є3=1, е4=—1
(15.15)
(или из диагональной метрики, получаемой из этой перестановкой координат) Гаррисон [Garrison (1959)] получил серию точных вакуумных решений, допускающих группу Gi. Пространственно-подобный (или временно-подобный) вектор Киллинга \=д2 (или §=д4) является ортогональным к гиперповерхности. Разделение переменных в особой форме (15.15) ведет либо к решениям в замкнутой форме, либо сводит задачу к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения. В качестве иллюстрации приведем по одному примеру из каждого класса решений.
Решение в замкнутой форме:
= 2 Єіа\[{х*)' + х'\'
і= I
t=l 2
,2?-
l\2
(JC*) '¦ (dx‘)
(15.16)
Tli
Jtl
U1
1 + /2 -/2 (1 + 2/2)/7 (2-3/2)/7 C = Const I
3
2 + /2 O
(3-/2)/7
4
1+/2
I
I
Решение в незамкнутой форме:
&,=Е^-‘-«ТН^Гх
і=\
Пі
Ьі
h
т,
X (-Wi (? -1 1 2 З
1 + /3 -/З 3+/3
1+2//3 -I 1+2//3 (1 + 1//3) 1//3 — (2+1//3)
(15.17)
4
2+/З 1+2//3 -І//3 O
OOO
dv vi—\(2v , 4 \
dz — 4z (a-1 + j/T Г '
Комплексное преобразование л:2-и jc4, л:4-и X2 переводит (15.16) и (15.17) в статические решения. Однако не всякое решение Гаррисона с пространственно-подобным вектором Киллинга имеет (действительную) статическую копию.
В силу их аналитической сложности метрики Гаррисона были проверены на ЭВМ [d’lnverno, Russell-Clark (1971)]. Существует всего 17 вакуумных решений, включая (15.16) и (15.17), относящихся к невырожденному типу I по Петрову и не допускающих Grс г>1 [Collinson (1964)]. Форма метрики (15.15) ведет также к решениям в основном типа D, которые относятся к вейлевскому классу статических полей (см. § 18.1) или к классу волн Эйнштейна— Розена (см. § 20.3).
157
На основе требования разделения, аналогично, но не тождественно равного требованию (15.15), Гаррис и Зунд [Harris, Zund (1978)] получили класс вакуумных решений (типа I), допускающих (как минимум) группу G I.
Исходя из метрики вида
ds2 = h(t){e2h[ (dx1)2+ (dx2)2] + W2dq>2}—e2udt2,
(15.18)
k=k(x\x2), W=W(xl,x2), U=U(x\x2), dh/dt^Q,
Рэстелл (I960) решил вакуумные уравнения, но полученные метрики являются плоскими (QKoppel (1967)].
См.\ [Hoenselaers (1978b) ] -
Г лава 16
Стационарные гравитационные поля
Стационарные гравитационные поля характеризуются наличием временно-подобного вектора Киллинга, и поэтому можно выбрать систему координат, в которой метрика не зависит от временно-подобной координаты. Стационарное пространство-время называют статическим, если поле вектора Киллинга касательно к нормальной конгруэнции.
В § 16.1—16.3 мы даем вывод уравнений поля с помощью проекционного формализма, пользуясь полятиями дифференциальной геометрии. Некоторые из методов, указанные для стационарных полей, применимы также (с незначительными изменениями) в случае пространственно-подобного вектора Киллинга: это, например, проекционный формализм (см. § 16.1) и метод собственных геодезических лучей (см. § 16.5).
Некоторые классы решений приведены в § 16.5—16.7. Лишь в небольшом числе случаев это точные стационарные решения, не обладающие никакой добавочной известной симметрией. Te стационарные поля, которые допускают второй вектор Киллинга, описывающий аксиальную симметрию, будут рассматриваться в последующих главах.
16.1. Проекционный формализм
