Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Векторы Киллинга I и ц образуют группу G2. Общий вид метрики для гравитационных полей, допускающих группу G2, приведен в формуле (15.1). Здесь мы потребуем, чтобы векторы I и Ij коммутировали:
1а;Ы\ь—г\а;ь1ь=0; ^«>0, (17.1)
т. е. чтобы I н ч образовали абелеву группу G2- Картер [Carter
(1970)] показал, что наиболее важные с физической точки зрения случаи — асимптотически плоские стационарные аксиально-симметричные гравитационные поля — с необходимостью допускают абелеву группу G2, так что для них условия (17.1) не являются избыточным ограничением.
Параметр группы q> вдоль траекторий вектора q обладает обычной периодичностью 2л, лишь если выполняется условие регулярности
X,aX.<44X-+h (*=л“Т1а, 4=5,) (17.2)
в пределе стремления к оси вращения. Такая нормировка параметра ф всегда возможна, если предполагается лоренцева геометрия (^элементарная евклидовость») в окрестностях оси вращения. Если же условие регулярности (17.2) нарушается, то на этой оси должны быть сингулярности (стержни или распорки).
Векторы Киллинга % и ц определяются однозначно, если потребовать, чтобы 1) вектор і) обладал компактными траекториями (другие подгруппы Gu вообще говоря, обладают некомпактными траекториями), 2) вектор ц подчиняется условию нормировки
(17.2) и 3) чтобы пространство-время было асимптотически плоским, а вектор 5 нормирован так, чтобы в пределе больших расстояний ВЫПОЛНЯЛОСЬ условие —1.
173
17.2. Ортогональные поверхности
Киллинговы траектории образуют двумерные орбиты T2-, простой бивектор
овб = 26,Лг^<0 (17.3)
определяет эти поверхности [(CM. (17.1) и (6.11)]. Элемент поверхности, ортогональный групповым орбитам, натягивается на дуальный бивектор
V sabcdxfd=2mlamb], т?а =0=таъа. (17.4)
Простой бивектор Vbb определяет поверхность в том и только том случае, если удовлетворяются условия
VehVct ,=??, (тсть. с - тпсть. с)=0<==$>
*= о=W“1V; d (17.5)
[ср. с (6.11)]. Вообще говоря, векторы Киллинга произвольного стационарного аксиально-симметричного пространства-времени не удовлетворяют условию (17.5), однако в явной форме известны только те решения, которые удовлетворяют этому условию.
Условию (17.5) можно придать форму ограничения на алгебраический вид тензора Риччи.
Теорема 17.1. [Kundt, Triimper (1966)]. Стационарные аксиально-симметричные поля допускают 2-пространства, ортогональные групповым орбитам тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия
?*Я</1а?&Лс]=0=Л^[а5бТ]с]- (17.6)
Доказательство (см., например, [Carter (1972)]: для вектора Киллинга I справедливо тождество (8.24):
la;bc=Rabcd%d- (17.7)
Из (17.7) и аналогичного тождества для вектора ц имеем:
^ja; Ь ^ =~ъ ^dRd I(A)I :
(17.8)
С1IdRdlaW-
C помощью этих соотношений, а также тождеств Риччи для тензора кривизны и коммутативности векторов I и ц получим:
’?(« ь )'d= —~y tdRdl<tb\];
(? іД&лИ=—-J- yIdRdiaTlbtc]- (17.9)
Учитывая тот факт, что полностью антисимметричный четырехвалентный тензор пропорционален е-тензору, запишем дуальные
174
уравнения, эквивалентные (17.9):
(eabcd|a;i!cTid);e=—2eabceldRdalb4c\
(EabcdTlajbTlcId) ;е=—2ea6ceTl‘i^daTlb|c. (17.10)
Из этих соотношений следует, что условия (17.6) являются необходимым следствием исходного критерия (17.5). Обратно, если выполнены условия (17.6), то скаляры вращения єаг>с<гтіаІь5с;<і и Babcdla4b4c'id должны быть постоянными. Оба скаляра вращения обращаются в нуль на оси вращения, так как там т|=0. Поэтому они должны быть равны нулю в связной области, включающей ось вращения, если условия (17.6) выполняются в этой области. Тогда геометрия допускает 2-пространства, ортогональные орбитам абелевой группы движений С?2-
Для вакуумных полей (Rab=O) существование ортогональных 2-пространств было впервые показано Папапетру [Papapetrou (1966)] в его основополагающей работе на эту тему.
Условия (17.6) выполняются для широкого класса тензоров энергии-импульса. Так, например, разбиение метрики на ортогональные 2-пространства возможно в случаях решений для идеальной жидкости и для полей Эйнштейна — Максвелла, если соответственно 4-скорость жидкости и вектор плотности электромагнитного
4-тока удовлетворяют так называемому условию циркулярное™
"[Jft1Ic] -O = ZlaS6Tic], (17.11)
т. е. если траектории векторов и и j лежат на поверхностях транзитивности группы Сг- Уравнения (17.6) на этом языке гласят, что векторные поля Rab%b и Rabr\b должны быть круговыми. Условие циркулярности (17.11) является естественным обобщением условия (16.41) (параллельность 4-скорости и тока вектору Киллинга) на случай стационарных аксиально-симметричных нолей. Очевидно, ЧТО ДЛЯ идеальных жидкостей условие Ula^7Icl=O влечет за собой выполнение (17.6).
Покажем теперь, что условие Ііа^\] =0 Для полей Эйнштейна— Максвелла также приводит к выполнению условий (17.6). Из уравнений Максвелла
F*ab;b=ja (17.12)
и предположения о равенстве нулю производных Ли от F*ab относительно обоих коммутирующих между собой векторов Киллинга I и т] следует соотношение
