Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
В § 6.2 было показано, что тензор Вейля статического пространства-времени относится к типам I, D или 0 по Петрову. Удовлетворяющий уравнению (16.52) вектор и является главным направлением тензора Вейля и собственным вектором тензора Риччи. Тензор Qac, определенный равенством (3.62), является чисто вещественным, а бесследовую симметричную матрицу Q і^ожно привести к диагональному виду с действительными собственными значениями на диагонали с помощью ортогонального преобразования тетрады, сохраняющего вид главного направления и.
Уравнения (16.26) — (16.28) сводятся к
Rab =2U' JJt ь-\-VJidbRcd - е~4ичab?ldRcd;
(16.54)
U aa = -e~^bRab; F~ — е2и.
В частности, уравнения поля в вакууме принимают чрезвычайно простой вид
^ab=W'JJwb. (16.55)
167
Уравнение для потенциала U,a'a=0 следует из (16.55) в силу
свернутых тождеств Бианки для Rab. Легко проверить, что при
R= 0 имеет место RabCd=0.
Пространственно-подобные гиперповерхности (пространственные сечения), ортогональные вектору Киллинга, являются вполне геодезическими, т. е. геодезические на этих пространственных сечениях одновременно являются геодезическими и в пространстве-вре-мени. В статическом пространстве-времени существует, вообще говоря, только один временно-подобный вектор Киллинга, и пространственные сечения единственным образом определяются метрикой.
В системе координат, где ?=<?*, элемент мировой линин имеет вид:
ds*—dо1 — e^dt*; do*=hyJLjfdx'=&~2V^iijdxv'dx‘, (16.56)
причем компоненты метрики не зависят от временной координаты t. Привилегированная система координат (16.56) определяется однозначно с точностью до чисто пространственных преобразований
Xt'=X1'T(Arlt) и линейных преобразований координаты t с по-
стоянными коэффициентами: t'=at-\-b.
В случае конформно-статической метрики (см. [Synge (1960), с. 339, в рус. пер. с. 288) ]
ds3=^*(x, у, г) (dJ+dyt+dz2) —eW.v^dt2 (16.57)
скалярная кривизна конформно-плоскнх пространственных сечений ^=Const равна
Rt=SW-5AW. (16.58)
16.6.2. Вакуумные решения
Известны все вырожденные (типа D) статические вакуумные поля. Они приведены в табл. 16.2 с указанием простого собственного значения X тензора Вейля. Все эти метрики допускают по меньшей мере абелеву группу G^ и принадлежат классу решений, исследованных Вейлем (см. § 18.1).
Вырожденные статические вакуумные решения были первоначально найдены Леви-Чивитой [Levi-Civita (1917—1919)]. Их инвариантная классификация на подклассы (табл^ 16.2) дана Элер-сом и Кундтом [Ehiers, Kundt (1962)].
Классы А и В связаны друг с другом через комплексную замену йф, <р-н/. Поля классов А и В допускают группу изометрии Gi и группу изотропии Н\. «С-метрика» допускает абелеву группу движений Gz. Пространственно-подобные (для класса А) или временно-подобные (для класса В) поверхности, определяемые собственными бивекторами тензора кривизны (см. § 4.2), имеют постоянную гауссову кривизну. Класс Al сводится к решению Шварц-
168
Таблица 16.2. Вырожденные статические вакуумные решения
Собственное значе-
Класс Метрика ние X
А
А\ ds* = г2 (rfe* + sin2 Mf) + (I — Ь/r) -> dr'- — — Ьг-*
— (1 — Ь/г) dt2
>111 ds* = г1 (dr2 + sh2 rdf) + (b/z — I) -1 dz1 — bz~*
— (b/z - -1) dt2
>1111 ds2 = zs (dr1 + r2df 2) + Xlz2 — z-'dt2 z-3
В
BI ds2 = (I — b/r) -'dr2+ (I — b/r) df + — Ьг-3
+ T2 (rf02 - — sin2 Mt2)
BW ds2 = (b/z — I)-'dz2 + (b/z — I) df -f bz-3
+ Z2 (dr2 - sh2 rJt2)
BIlI ds2 = zdzг + z~*df -f z2 (dr — r2dt2) Z1
с
1 dx2 dy2
С-метрика ds - (x + уY [ f (X) + h (if) +
I ±(х + У)3
+ f(x)df — h (y) dt2 ;
f(*)= ±(*3 + «* + &)>°;
h(y) = -f(-y).
шильда (13.19). Классы А и В входят в состав решений (11.42) и его временно-подобного аналога.
Метрики Гаррисона (см. § 15.4) включают некоторые статические невырожденные (типа I) вакуумные решения. Другое решение типа I было указано Дасом [Das (1973)]. Мы приведем здесь это последнее решение в несколько иной системе координат:
ds2=a2z~2b [ I zdt,-\-c%dz 12+ (zdz)2] —
—z2bdt2, b2+c2= I (16.59)
(е, b, с — действительные постоянные). При b=1 пространство-время является плоским.
Cm.: [Trumper (1962)].
16-6.3. Электростатические и магнитостатические поля Эйнштейна — Максвелла
Если ограничиваться электростатическими
ф=ф = Х; ~ /} (16.60)
169
(х— электростатический потенциал) или магнитостатическими полями
Ф=—Ф=і|>; &=&=&—^ (16.61)
(i|> — магнитостатический потенциал), то дифференциальные уравнения (16.38) — (16.40) для стационарных полей Эйнштейна—Максвелла вне источников упрощаются. В случае электростатики эти уравнения принимают вид
Rab-% (U, Д ь - е-2их, 0Х „) (16.62а)
и
U. а 0=е-21/Т“3Х. аХ. * X. а “ = ^?7. аХ. 6. (16.626)
Уравнения для магнитостатики получаются при замене х-И’* Чтобы упростить эти дифференциальные уравнения, предположим, что зависимость между потенциалами U и х имеет вид U= =U (х). При таком предположении (16.626) дает
е^=1— 2сх+х2. C=Const, (16.63)
или в параметрическом представлении:
