Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Конкретизируя вид потенциалов В и Ф, можно дать описание физических случаев, приведенных в табл. 16.1.
Таблица 16.1. Комплексные потенциалы S и ф для некоторых физических задач
Физическая задача Потенциал
S Ф
Стационарные поля Эйнштейна—Максвелла — Электростатические поля Эйнштейна— Максвелла Магнитостатические поля Эйнштейна— Максвелла Стационарные вакуумные поля Статические вакуумные поля Конформно-стационарные поля Эйнштейна—Максвелла (см. § 16.7) Комплексный Действительный » Комплексный Действительный 0 Комплексный Действительный Мнимый 0 0 Комплексный
164
Потенциалы Ф и S можно также ввести, если присутствуют электромагнитный и «материальный» токи, повсюду параллельные вектору Киллинга:
/,.'«“"“«,Л,. <16-41>
В этом случае уравнения для <§Г и Ф (обобщенные уравнения Пуассона) имеют вид:
3 у + F-tS 'Ta = ZaTai ф la + F-'<t> ar°=KV2ya;
ja = oUa; (16.42)
Ta = X0Sa [зР + р + j/A (-F)-1/2 о®] •
Теорема 16.3. Стационарные асимптотически-плоские поля Эйнштейна — Максвелла с асимптотически равными нулю источниками являются статическими, если токи повсюду удовлетворяют условиям (16.41). (При доказательстве используются уравнения
(16.42) и теорема Стокса, см. [Carter (1972)].)
16.5. Собственные геодезические лучи
Итак, уравнения гравитационного поля Эйнштейна удалось записать как уравнения в трехмерном пространстве, если существует временно-подобный вектор Киллинга. Можно также построить (трехмерный) триадный формализм и соответствующую спинорную технику [Perjes (1970)] в трехмерном римановом пространстве Sj киллинговых траекторий.
В стационарном пространстве-времени изотропная конгруэнция к с условием нормировки ka\a=1 следующим образом определяет поле пространственно-подобного единичного вектора * п:
na = ka-F~V; явла = 1;
(16.43)
WflS0 = O; SiIi=O.
Можно ввести триаду {e0} = (n, т, т), ортогональную %. Используя конформное преобразование (16.24), представим условие
геодезичности поля к в виде уравнения на S3 (с метрикой Yab):
kbK ь <=^Fnbna. b+Ft а — JiaHbFt ь-f-SabcVbпс=0. (16.44)
* Формализм, основанный на задании двух векторных полей (в данном случае двух ортогональных полей па и J11), подробно развит в отечественной литературе. Он называется днадным формализмом. Его систематическое изложение см.: Владимиров Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации. М., Энергоиздат, 1982.—Примеч. ред. перевода.
165
Собственный луч п определяется уравнением
F. а - ПаПЬР, ь = 0. (16.45)
В случае статических гравитационных полей (см. § 16.6) мы имеем два разных собственных луча, определяемых как
na=±(F,bF-b)-l/2F,a. (16.46)
Из уравнения (16.44) следует, что собственный луч п является
геодезическим в 2з в том и только том случае, если изотропная конгруэнция к геодезична в Vc
kbka.b=0^,i»na.b = 0. (16.47)
Сдвиг а собственного луча определяется как
O=ZZ0i6To1W'; пата = 0; тата = 1. (16.48)
Можно показать, что существование геодезического и бессдвиго-вого собственного луча влечет за собой существование в данном пространстве-времени геодезической и бессдвиговой изотропной конгруэнции.
Известны все стационарные вакуумные решения, допускающие геодезические (но необязательно бессдвиговые) собственные лучи [Kota, Perjes (1972)]. Условия геодезичности собственного луча
(16.45), (16.47) позволяют проинтегрировать уравнения поля
в трехмерном варианте формализма Ньюмена — Пенроуза. Укажем явный вид вакуумных метрик, обладающих геодезическими собственными лучами со сдвигом:
ds*=/-*[Г(г'-Чу* dx* + r'+'>y2dy*) + dr*] -
— f(dt — VZQydx + f-'dr)*, (16.49)
где f=P(x + Qy)(r4^ + Q*r-'iv*)-'; r = P(x + Qy)\ PvQ-
действительные постоянные и
ds* = f-' If0 Iy^dy*)+dr*} -
- f (л-dy + f-'drj, (16.50)
где
f = (ax + by) (y*rliV2~+ X*r~'Iу*)-1
и
f0= (ax+by)у-2, а и b — действительные постоянные.
Лукач [Lukacs (1973)] указал все вакуумные метрики с пространственно-подобным вектором Киллинга и геодезическими собственными лучами со сдвигом. Эти метрики очень похожи на
166
(16.49) и (16.50). Стационарные поля Эйнштейна — Максвелла, для которых геодезические собственные лучи со сдвигом, принадлежащие полям Максвелла и гравитационному, совпадают, получены Лукачем и Перьешем [Lukacs, Perjes (1973)]. Решения для пыли CM. [Lukacs (1974)].
16.6. Статические поля
16.6.1. Определения
Стационарное решение называют статическим, если временноподобный вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности (образует нормальную конгруэнцию):
^:6)=0; ^4=O; Е%<0. (16.51)
Отметим эквивалентное определение статических полей: в статическом пространстве-времени существует векторное поле и, обладающее свойствами [Ehlers.Kundt (1962)]
иаі[ь=-йаиь-, U1X1 = 0; UaUa=- 1 (16.52)
(точкой обозначена операция Vu). Из соотношений (6.24) и (6.25)
следует уравнение
иаис + иа. с + йаис=- ubudRdabc, (16.53)
йо антисимметричной части которого видно, что и является градиентом, Ua=II,а- Поэтому конструкция |=еии представляет собой поле вектора Киллинга, ортогональное к гиперповерхности.
