Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
с*>1: х=—(C2-I)1/2 cth У+с, e2tr=(c2_ i)sh-2y;
с2< I: х=— (1—с2)1/2 ctg У+с,
(16.64)
e^=(l_c2)sin-2y;
C2=I : х=-У-і + 1, е:Hr=Y-*.
Из соотношений (16.64) следует, что уравнения поля (16.62) СВОДЯТСЯ к Rab=±2Y,aY,b ДЛЯ с?ф\ И K Rab=0, У,о:о=0 ДЛЯ C2=I. Класс статических полей Эйнштейна — Максвелла для C2=I (без пространственной симметрии) будет приведен в § 16.7.
При подстановке выражения (16.63) в уравнении поля с источниками в форме заряженной идеальной жидкости [см. (16.42)] следует [Gautreau, Hoffman (1973)]:
co = VxJ2e; (16.65)
отношение плотности заряда а к плотности активной гравитационной массы є^Зр+і^е^+ах постоянно.
В заключение этого раздела сформулируем две теоремы. Теорема 16.4. [Esposito, Glass (1976)]. Стационарное пространство-время электровакуума является статическим в том и только том случае, когда и тензор Вейля, и тензор Максвелла относятся к чисто электрическому типу: Bac=C^edUbUd=0, Ba=F^ub=0.
170
Теорема 16.5. [Banerjee (1970а)]. Статических полей Эйнштейна— Максвелла с изотропным электромагнитным полем не существует.
16.6.4. Решения для идеальной жидкости
Барнс [Barnes (1972)] нашел все статические вырожденные (типов D или 0) решения для идеальной жидкости, пользуясь методом, весьма близким к примененному для вакуумных полей. Метрики, допускающие группу изотропии Hu уже были даны в гл. 11, 13 и 14. Укажем теперь метрики, не допускающие группу изотропии:
(16.66)
f(x) =±х3+ах+6; h(x) =—/(—х)—ХоИ/3, H=cOnst; ds2= (n-\-mx) -2 {F~l (х) dx2-j-F(x) dy2-\-dz2—x2dt2};
F(x) =a(n2 \nx + 2mnx+m2x2/2) +b, (16.67)
m~±I; 0; x>0; ds2=N~2 (z) {G-1 (x) dx2-\-G (x) dy2-\-dz2—x2dt2},
G(x) =ax2-\-b In л+с, x>0, (16.68)
N (z) — A %\n([/ a z), Az, Ash(Y—az) соответственно для a > 0 a=0 и a<0.
Здесь a, b, c, m, n, А и B — действительные постоянные. Метрики (16.66) и (16.68) допускают абелеву группу Gi, а метрика (16.67) допускает группу G3. При обращении в нуль давления и плотности энергии метрика (16.66) переходит в «С-метрику» табл. 16.2.
Класс конформно-статических [в смысле (16.57)] решений для идеальной жидкости был указан Мелником и Табенским [Melnick, Tabensky (1957)]. При этом не предполагалось существования пространственной симметрии. Для явного определения решения требуется конкретизировать действительную функцию y=y(s). Тогда функции UhW, входящие в метрику (16.57), следуют из уравнений:
2yU'2=y"; Ч'-2=&y(z+m)\
s=^~(ri-\rq)(z-\rm)-1 (16.69)
(q и m — постоянные). Давление и плотность энергии можно найти из значений U ylW. Выбор у=S2 дает метрику
ds'={j^-Adx' + dy' + dz*)~ 'r^lJdt', (16.70)
171
которая при q=m=0 переходит в вакуумное решение типа Вейля (см. § 18.1).
16.7. Конформно-стационарный класс полей Эйнштейна — Максвелла
Интересный класс стационарных полей Эйнштейна — Максвелла, не обладающих пространственной симметрией, определяется
тем, что 3-пространство S3 плоское:
ds2 == е~2и (dx2+dy2+dz2) —е2и (dt+A^dxP)2. (16.71)
Мы будем называть эту метрику конформно-стационарной по аналогии с определением конформно-статической метрики (16.57).
Уравнения поля (16.38) — (16.40) удовлетворяются при
Zab=O] St=O; ано:о=0. (16.72)
Функции U и A11 интервала (16.71) можно найти из решения V=G>-1 уравнения для потенциала AV=O в плоском 3-пространстве Из с помощью соотношений (16.35) и (16.23) или в трехмерных векторных обозначениях:
^=(VF)-1; rot Л=i (V grad V—V grad V); AV=O. (16.73)
Этот класс решений был найден в работах [Neugebauer (1969); Perjfcs (1971); Israel, Wilson (1972)]. Поля являются статическими, если rot Л=0. В частности, чисто электрические поля (Ф= =Ф)—статические. Папапетру [Papapetrou (1947)] и Маджум-дар [Majumdar (1947)] указали этот специальный класс статических полей Эйнштейна — Максвелла, не обладающий пространственной симметрией.
Асимптотический вид электромагнитных потенциалов и метрики пространства-времени показывают, что для источников рассматриваемого класса IQl = VrX0^M и ц=± У к0/2/, где M — масса; Q — заряд; ц— магнитный момент; J — момент импульса. Конформно-стационарные решения описывают внешние поля заряженных вращающихся источников, находящихся в равновесии под действием электромагнитных и гравитационных сил.
Ввиду линейности дифференциального уравнения для V справедлив принцип суперпозиции решений. Примером внешнего ПОЛЯ двух изолированных источников является метрика (19.23).
Если вне источников геометрия несингулярна, то условие
(VgradV— VgradVJdf=O (16.74)
s
должно выполняться для любой внешней замкнутой 2-поверхно-172
сти S. Из этого условия регулярности можно получить ограничения на параметры источников, обеспечивающие отсутствие натяжений между вращающимися источниками [Israel, Spanos (1973)]. Обсуждение условия регулярности для стационарных полей и ссылки на литературу см. [Ward (1976)].
Глава 17
Стационарные аксиально-симметричные поля. Основные понятия и уравнения поля
17.1. Векторы Киллинга
Рассмотрим теперь физические системы, обладающие кроме свойства стационарности (отвечающего вектору Киллинга |) еще одной симметрией — они аксиально-симметричны. Эта симметрия описывается пространственно-подобным полем вектора Киллинга Ч, траектории которого являются замкнутыми (компактными) кривыми. Вектор Киллинга q обращается в нуль повсюду на оси вращения.
