Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
A, B=1
X (rA- rB- ~!~ ^A- I В— ) (rA+ rB+ “Ь ^A+ ^B+ ) }’ (18.10)
lAblmz-bA* тА> ГА± = \1А±1
для «, взятого на оси р=0. Условие регулярности Iim k=0 не мо-
р—*0
жет удовлетворяться повсюду на оси вне источников, и такие сингулярности удерживают массы от сближения под действием взаимного гравитационного притяжения. В теории Эйнштейна система двух тел не может находиться в статическом равновесии при отсутствии таких сингулярностей; это свойство подчеркивает физич-иость нелинейной теории.
В заключение отметим, что решение Вейля становится плоским, если потенциал U равен (с точностью до аддитивной постоянной)
нулю, Inp ИЛИ -J-In(Kpi-J-Z1-I-Z).
Cm.: [Szekeres (1968)].
18.2. Поля равноускоренных частиц
Участок пространства-времени
ds2=dR2+R2d<P+dZ2—dT2, (18.11)
в котором Z?>T2\ 2>0 (заштрихованная часть рис. 18.1), можно представить в канонической форме Вейля, если воспользоваться преобразованиями координат
R=(г—г) »/2; Z= (г+г) */* ch t\
T=(r+z)l'2sht\ Ф=ф. (18.12)
Тогда функции Unk, входящие в интервал, определяются как
e^=r+z; e2*=(r+z)/2r; г=(р2+22)|/а- (18.13)
Линейная суперпозиция потенциала U = — In (г -j— z) для плоского пространства и потенциала U для решения, описывающего
184
частицу, дает гравитационное поле частицы, движущейся с постоянным ускорением вдоль оси симметрии. Взяв в качестве решения для частицы поле двух частиц Керзона — Шази, получим в качестве суперпозиции метрику [Bonnor, Swaminarayan (1964)]
ds'
„2Х df + dz1 —2и р2
2г -г- + *><*':
U — — ———-[-const;
Г1 Г2
r*A — ?x jT[z ~ ЬАУ, A= 1.2;
P2 + (г — &,) (г — 6г)
(18.14)
2тхг
Amjn.
! '•,Гг (6, — 6г)!
const.
Этот интервал после преобразования, обратного (18.12), принимает вид
ds* = e2XdR* + Я’е-^Ф’-I- (Zs -T1)-1 [е2Х (ZdZ - TdT)* ¦ -e2U (ZdT-TdZ)*],
(18.15)
где U и Я — те же, что в (18.14). Векторы Киллинга \ = Тдг-\--\-ZdT и ч = <?ф генерируют абелеву группу Gt, причем вектор ?
является временно-подобным при Z2>
>Г2 и пространственно-подобным при Z2 <Т2.
В области Z2>72; Z<0 появляются две добавочные (зеркальные) частицы.
В функциях U и Л можно так ввести две аддитивные константы, что две частицы с положительными массами будут совершать свободное движение, когда как две другие частицы будут связаны с сингулярностями натяжений на оси симметрии. Мировые линии точечных сингулярностей описываются уравнениями Z =
= ±(Т*+2ЬЛ)'» R = 0. Эти источники существуют в конечной области пространства не все время. Поэтому решение (18.14) не может служить в качестве модели, описывающей испускание гравитационных волн изолированным источником.
18.3. Класс решений с потенциалом U=U(а) (класс Папапетру)
Если положить, что U=U (со), то задача отыскания стационарных аксиально-симметричных вакуумных решений существенно упрощается. Из уравнений (17.38) следует, что
е40=—(^+C1CO-I-C2 (18.16)
и что существует функция У(со), удовлетворяющая уравнению для
185
Рис. 18.1. Ускоренные частицы. Мировые линии частиц даны пунктиром
потенциала в плоском 3-пространстве:
AV=O;
V = V(.)=j , Д. + сГ=| ?-*?. (18.17)
Правая часть равенства (18.16) является положительной, только если 52=Сг+С2і/4>0. Для заданного решения V уравнения AF=O можно получить соответствующий комплексный потенциал Г=е2и-Иа> как
Г=s [sech(sV)+i th(sV)]. (18.18)
Класс решений при U=U{&) был найден Папапетру [Рара-petrou (1953)] и первоначально записан в эквивалентном виде
е-^=а Ch(Qf2) +р Sh(Qji); (18.19)
А = (а2—*р2) I/2pQ,p; AQ=O
(а и р — постоянные), где функцию А в метрике можно получить из потенциальной функции Q непосредственно дифференцированием. В общем случае этот класс решений относится к типу I по Петрову. Решения (18.19) обладают хорошей асимптотикой,
лишь если в состав еги не входит массовый член ~г~х. Это свой-
ство—явный недостаток таких решений, и хотя изолированные источники здесь обладают моментом импульса, у них нет массы.
Известным решением, относящимся к классу Папапетру при U=U{іа), является решение HYT (11.43). В канонических координатах Вейля решение НУТ имеет вид:
2и 1г+_±г_-Ц—*(т\±.Г), . (18.20)
(г+ + г-+ 2т)г + 4/2 •
(г+ + г_)г-4(т*+И — 4г+г-
A=Vskpir*-'-* r'±-p + (*
[Gautreau, Hoffman (1972)]. При /=O эти функции переходят в соответствующие выражения (18.8) для решения Шварцшильда. Ряд работ, например [Sackfield (1971); Bonnor (1969а)] посвящен физическому истолкованию решения НУТ, для которого не существует асимптотических координат Минковского.
Cm. [Borinor, Swaminarayan (1965)].
185
18.4. Класс решений при S=S (Л)
Подстановка (17.47) дает из класса Папапетру с U=U (со) другой класс стационарных вакуумных решений, для которых входящие в них функции связаны между собой как
е*в=рге~^=Аа+С1А+С2. (18.21)
Функция 1F=Je-iSсіА удовлетворяет уравнению для потенциала A1F=O. Имеется три различных случая:
I A2 — 1, А<0;
р*е-’"'=М1 + 1. А> 0, /г=4C2-C11; (18.22)
U2, A = O.
Подкласс AcO-просто класс Вейля, так как функцию А можно действительным линейным преобразованием t' = at+6ф, ф' = =сф+йИ обратить в нуль. Подкласс А>0 был найден Льюисом [Lewis (1932)] и поддается преобразованию в статические решения (Л=0) с помощью комплексных линейных преобразований координат ф и t [Hoffman (1969а)].
