Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Последний подкласс (A=O), принадлежащий Ван-Стокуму [van Stockum (1937)], имеет простой по форме интервал
ds2=p-l'2(dp2+dz2)—2pd<vdt+pQdt2, AQ=O. (18.23)
Эти решения относятся к типу II по Петрову и допускают самое большее группу G3. Для них существует изотропный вектор Киллинга <?ф (см. гл. 21).
Цилиндрически-симметричные стационарные вакуумные решения образуют подкласс класса с S=S(j4) и приведены в § 20.2.
Cm.: [Levy (1968)].
18.5. Решение Керра и класс Томимацу — Сато
Решения Керра и Томимацу — Сато, по-видимому, описывают внешнее гравитационное поле стационарно вращающихся аксиально-симметричных изолированных источников. Удовлетворительные внутренние решения для них, правда, неизвестны.
Решение Керра было найдено при систематическом исследовании алгебраически специальных вакуумных решений. Эту метрику можно преобразовать, исходя из ее первоначальной формы (28.49) [Kerr (1963а)], в систему координат Бойера — Линдквиста (г, 0), которые связаны с каноническими координатами Вейля (р, z) и сплющенными эллипсоидными координатами (х, у) преобразованиями
р - Yr* — 2mrJrat sin 0;
Z= (ґ—tri) cos 0 (18.24а)
и
ox=r—m, у=cos 0; cr=const (18.246)
187
[Boyer, Lindquist (1967)]. В этих координатах решение Керра имеет вид:
<&= (1 - [(г* “ 2тг+а' С08§6)х
X^6* + г>-Ттг + а* ) +(г*~ 2тг + а*)sin>6dcP1 ]“
-о-ртаеХ*+.jrr;9co,e ^
Специальные случаи: а=0 (решение Шварцшнльда) и |а|=т («предельное» решение Керра). Из формы интервала (18.25) видно, что существуют 2-поверхности, ортогональные траекториям двух векторов Киллинга, dt и Oif. Решение Керра относится к типу D по Петрову и допускает нетривиальный тензор Киллинга (см. § 31.3). Обсуждение свойств решения Керра и библиографию читатель может иайти в работах [Stewart, Walker (1973); Carter
(1972); Misner е. а. (1973)].
Картер [Carter (1968b)], Демяньский [Demianski (1973)] и Фролов (1974) обобщили решение Керра (18.25) с учетом Л-члена.
/
Демяньский и Ньюмен [Demianski, Newman (1966)] построили решение (30.55), частными случаями которого являются метрики Керра и НУТ.
В случае решения Керра комплексный потенциал ?, определенный равенством (17.44), принимает очень простой вид [Ernst (1968а)]:
l~x=px—iqy, p2+q2= I, (18.26)
если воспользоваться сплющенными эллипсоидальными координатами. Из вида ? можно получить полную метрику:
2 и P1X1 + дгу2 — 1
“ (рх+ 1)г + <7 V ’
= 08-27)
^ = ргх*+ qY— I ^
(mq=a, тр=а). Потенциал ?, приведенный в (18.26), является частным решением дифференциального уравнения (17.45):
(В - 1) {[(**-1)5, J. ,+[(I - ft К у1 у} = SK** - I) 1U' +
+ (1-IW./I. (18.28)
Пользуясь чрезвычайно симметричным видом этого уравнения в переменных X и у, Томимацу и Сато [Tomimatsu, Sato (1972, 1973)] сумели построить серию новых решений (решения TC), зависящую от целочисленного параметра б. Для этих решений потенциал I равен отношению |=р/а, где аир — полиномы в коор-
188
динатах х и у. При 6=1, 2, 3 эти полиномы равны (p2 + q2= 1):
8=1: a. = px — iqy, P=I (решение Керра);
8 = 2: а,— р*(л;4 — I) — 2i\pqxy(л* — t/*) — (1 — у*),
$ = 2px(x? — l) — 2\qy (1 — у*)\
8 = 3: а= р(х*— 1)" (х* + Зх) + iq(I — у*)3 (уг + Зу) —
— pq*(x* — уУ(у’-\-Зху*) — \piq (хг — y*)s (у3 + Зх'у), (18.29)
P = Pi (х* - 1)* (Зх*+ 1)-^(1- УУ (3y' + 1) -
— I2\pqxy (х* — у1) (х2 — I) (1 — у1).
Постоянная а в соотношении (18.5), связывающем координаты (р, z) и (х, у), момент импульса J и квадрупольный момент Q определяются равенствами:
a = mpjb\ J—m^q; Q =то*+ ?*)• (18.30)
где т — параметр массы решений TC. Решения TC являются асимптотически плоскими. Соответствующие решения Вейля (<q= =0)—это решения (18.7) при целочисленном параметре б.
Класс решений, тесно связанных с решениями TC, указан Чандрасекаром [Chandrasekhar (1978)].
Cm.: [Gibbons, Russell-Clark (1973); Tanabe (1974); Ernst
(1976b); Yamazaki (1977a,b); Hori (1978)].
18.6. Остальные решения
В метрике Керра (18.27) функция k зависит только от координаты т]= (х2—1)/(1—у2). Такая зависимость k=k(i\) является свойством всего класса решений TC, и это позволяет обобщить этот класс на случай непрерывно изменяющегося параметра 6. Косгроув [Cosgrove (1977, 1978)] принял
(I — v*)k v=2/i; 2т) (I +1))/5 4=/(tj);
ті=(**-1)/(1 -У2)', (18.31)
v=y/x, /i=const
для функции k, удовлетворяющей дифференциальному уравнению четвертого порядка (17.46) и получил обыкновенное дифференциальное уравнение (см. также [Dale (1978)]):
т]2(1 + Л2)///2 = 4[т]/12—11'—Л2] [— (И-т])Г-ь/—^2] (18.32)
(б — постоянная). При A=O и граничном условии 1(ц)=82р~2-\-+0(11-1) при т)-*оо уравнение (18.32) определяет асимптотически плоские решения, регулярные на оси вне конечной области. Этот класс характеризуется тремя параметрами, о = тр/б, q и б (р2+ -|-<72=1), связанными с массой т, моментом импульса J и квадру-польном моментом Q согласно (18.30), и переходит в класс TC для целочисленных значений б.
189
При кФО Косгроув получил частные решения в замкнутой форме; так, например, при параметризации 62=n2-{-2bn+2b2; h= =b(n+b) для п=1 имеем:
