Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
где — тензор Леви — Чивиты в V2.
В силу уравнения (17.28) можно ввести канонические координаты Вейля р(=№) и z. Тогда функции U, k и А в метрике (17.20) будут определяться соотношениями (17.31) и
Уравнения поля (17.26) и (17.27) обеспечивают тождественное выполнение условий интегрируемости (17.32) и (17.33), так что для нахождения k и А достаточно интегрирования по кривой. Из трех уравнений (17.29) два сводятся к уравнениям (17.32) для определения k, а третье, включающее гауссову кривизну K= =—2е-tfcJfe ? пространства V2, принимает в канонических ко-
м:М = 0
(17.28)
и
KYiw-
М; M ___(<? м + 2фф м) (<S*p у + 2ФФ. и) (MtAf) 0
т - ¦ _ — . Z
2(Яег+фф)2
ф, (мФ, Af)
Re S + фф ’ (17.29)
Am = 1Ре-%уо;Ч = 1т» N — і (ФФ N — ФФ N) (17.30)
и
еги=Ре$ + ФФ,
(17.31)
178
ординатах Вейля вид
^ і (g. м + 2ФФ. лі)лі+2ФФ,м) Ф, мФ. м „ П7 34\
-mm^ 4(І*е<? + фф)2 _Re<? + ^>— (
В силу других уравнений поля оно выполняется тождественно.
Тем самым мы доказали теорему:
Теорема 17.2. Уравнения Эйнштейна — Максвелла для стационарного аксиально-симметричного поля полностью сводятся к самосогласованной системе (17.26), (17.27) эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка для двух комплексных потенциалов S и Ф. Каждое решение этих уравнений определяет метрику вида (17.20) через соотношения (17.31) — (17^3).
В случае внешних электростатических полей (Ф=Ф=х) уравнения поля (17.26), (17.27) принимают вид:
W-'(W и,м) W = C-2Uxm1iM; (We-2t/XM);M = 0. (17.35)
В канонических координатах Вейля эти уравнения можно заменить на
AU = p~l (рU^a),A= UiAUtA^kjAA',
(AU)3= (2UAUt2—k,2/p) Ч (1/,22—?,i/p)2 (17.36)
для функций Unk, входящих в выражение для интервала. Укажем два специальных класса решений этих уравнений: при AU=0 (вакуумные решения Вейля, см. § 18.1) и при k=0 (решения Па-папетру — Маджумдара с аксиальной симметрией, см. § 16.7).
17.5. Разные формы уравнений поля для стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей
Все стационарные аксиально-симметричные вакуумные поля (Ф=0, S1=T) описываются метрикой (17.15). Уравнение поля
(17.26) в случае вакуума переходит в уравнение Эрнста [Ernst (1968а)]:
(Г-f Г) W-1 (ГГ,м) ;м=2Г,мГ-ЛЛ (17.37)
Разбивая Г на действительную и мнимую части, мы приходим к самосогласованной системе двух эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка:
W-'(WU МУМ = —^e-wCO „ОУ";
(U7e-W(0 М):Л1 = 0. (17.38)
Эти уравнения ковариантны относительно преобразований в 2-пространстве V2 с метрикой Vmw- В канонических координатах Вейля (p. 2O уравнение (17.37) принимает вид
(Г +T)<r рр + P-T р + Г „) = 2 (Г / + Г. Л (17.39)
12* 179-
Если известно решение Г=е2и+і(о этого дифференциального уравнения, полный вид метрики (17.20) находится с помощью интегралов по кривым для k и А:
причем условия интегрируемости выполняются автоматически. Задача, таким образом, по существу сводится к решению уравнения (17.39) для комплексного потенциала Г (см. теорему 17.2). На первый взгляд, простота этого нелинейного дифференциального уравнения вселяет большие надежды, однако в действительности пока удалось найти только некоторые частные решения и узкие классы решений. При полном решении этой задачи, как можно думать, окажется полезным преобразование уравнений поля. Поэтому мы даем здесь сводку некоторых других форм уравнений.
1. Введем новую функцию S= — СГ-f- -J-In Н7 и получим из уравнения (17.38) систему дифференциальных уравнений
для неизвестных функций S и Л. Уравнения (17.41) и (17.38) имеют одинаковый вид, если не считать знака.
2. Канонические координаты Вейля (^2^C = p-j-iz) оставим без изменения, но перейдем к новым переменным Mh N:
Подставляя эти выражения в уравнение поля (17.39), получаем с учетом условия интегрируемости самосогласованную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для двух комплексных функций MnN:
Найдя решение этих уравнений, можно получить потенциал Г путем интегрирования по кривой.
3. Уравнение Эрнста можно преобразовать, вводя новый потенциал Ej с помощью соотношения
k С = /2Р
: V2д,^дг-ідг, (17.40)
w~' (Ws. м); М=~Т е_4Ч И' * (We-isAt м); м=0. (17.41)
M=2 (С + С)(Г + Г)->(Г + Г)(1;
ЛГ=2(С + С)(Г+Ґ)-'(Г-Г}іС.
(17.42)
2(C-J-C)M ^=M-M-NN;
(17.43)
2 (С + С)JV = N+N — NM.
1=(1-^)/(1+^).
Тогда \ удовлетворяет дифференциальному уравнению
(17.44)
®-1)*-1№.м?и = 2*.м*и-
(17.45)
180
Эта форма уравнений поля оказалась особенно полезной для конструирования новых решений (см. § 18.5).
4. Функция k в метрике (17.20) удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка, которое можно получить, заметив, что правая сторона уравнения (17.29) (для Ф=0) при умножении на (—2)dxMdxN дает метрику пространства постоянной отрицательной кривизны. При этом из левой части уравнения
(17.29) следует, что интервал
P-1 (р к,л) ,a (dp2-\-dz2) —2k,AdxAdp/p
связан с этим пространством постоянной кривизны, а это дает дифференциальное уравнение для одной только функции k:
