Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 19.1. [Ehlers (1962)]. Каждому статическому вакуумному решению (ga, In) можно сопоставить (твердотельно вращающееся) стационарное решение для пыли (g^-, |л) по правилу:
Для случая отличного от нуля давления нам известно одно аксиально-симметричное решение для идеальной жидкости, не обладающее более высокой симметрией — это решение Вальквиста [Wahlquist (1968)]. Оно выражается в обобщенных сплющенных эллипсоидальных координатах (?, rj, ф) как
(19.39)
^ = ^(6)=1+^-201/7^(1 -kVf'2 +%Ь-г[%- Jfe-1O -
— ?*?2)|/2 arcsin (AS)];
К=K (I) = I - V- їаГ'т,(I +*Y),/2 - -ф-г h -
— k~'(\ +?2т]*)|/2 arcsh(^ij)];
(19.40)
201
H=-J-M3frie217-
X0Ix0 = 2k2 (Ьг0)-\
Уравнение состояния имеет вид
ц+Зр = цо=Const.
(19.41)
Решение Вальквиста (19.40) принадлежит типу D по Петрову и, вообще говоря, допускает группу Gz. Действительные постоянные г0, k, b, т Yi а произвольны, а постоянные т]о и с подбираются таким образом, чтобы поведение решения на оси симметрии было хорошим, т. е. чтобы метрика удовлетворяла условию регулярности (19.37). При т=а=0 решение (19.40) является несингулярным внутренним решением для твердотельно вращающегося жидкого тела, ограниченного конечной поверхностью, где давление равно нулю. При т=а=0, ?=r/ro, t]=cos 0 и в пределе г0-И) из
(19.40) получается сферически-симметричное статическое решение (см. § 14.1.2) с уравнением состояния pi+3p=const.
Вайдья (Vaidya (1977)] опубликовал решение для идеальной жидкости (с уравнением состояния ц-)-Зр=0):
где ifi, а и R — постоянные, и истолковал его как метрику Керра на космологическом фоне вселенной Эйнштейна. Метрика (19.24) является предельным случаем при Цо->0 (когда произведение Ji0Ь2 остается конечным и отличным от нуля) решения Вальквиста
(19.40). Преобразование координат, переводящее этот частный случай решения Вальквиста в (19.42), имеет вид [QHelt, Hermann (1980)]:
ds*=M*[(l — a* sin* а/(/?*)) cfa*—|— sin*a<ip*] —
— 2 (du a s in a dp) dt + (I + 2mW) (du -(- a sin* асф)*;
М* = (Ri — аг) sin* (гIR) + a* COS* а;
N = R sin {гIR) cos (гIR)IM*;
U = X —Г,
(19.42)
dt =du-{- (.М*-\-а* sin*а) (М*-{-а* sin*а — 2mNM%)-'dr;
df=dp — a (Ж*+ о,* sin* а — $mNM*)-x dr, (19.43)
причем параметры связаны соотношениями
Другие известные стационарные аксиально-симметричные решения для идеальной жидкости принадлежат пространствам-време-202
нам с локальной вращательной симметрией (см. § 11.4, 12.3) или однородным пространствам-временам (см. § 10.4), либо они ци-линдрически-симметричны (см. § 20.2). Например, уравнения поля (19.35) можно решить при условии (O = U)(U), to>?=—
[Herlt (1972)]. Этот класс соответствует классу Папапетру (см. § 18.3) для вакуумных полей и обладает локальной вращательной симметрией.
Решения, принадлежащие Вальквисту и Херльту вместе с внутренним решением Шварцшильда (14.14), являются единственными решениями для идеальной жидкости (с твердотельным вращением), которые допускают разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби для изотропных геодезических [Bonanos
(1976)].
Нам не известно ни одно стационарное аксиально-симметричное решение для идеальной жидкости с ненулевым давлением и нетвердотельным вращением. По вопросу о сшивании источника в форме идеальной жидкости с решением Керра см. [Roos (1976, 1977)].
Единственным стационарным, аксиально-симметричным и конформно-плоским решением для идеальной жидкости является внутреннее решение Шварцшильда (14.14) [Collinson (1976а)].
Cm.: [QHoenselaers, Vishveshwara (1979)].
Глава 20
Цилиндрическая симметрия
20.1. Общие замечания
Цилиндрически-симметричные поля обладают аксиальной симметрией относительно бесконечной оси (вектор Киллинга ц = дф) и сдвиговой симметрией вдоль этой же оси (вектор Киллинга g= =дг). Оба вектора Киллинга ц и g пространственно-подобны и образуют абелеву группу G2.
Предположим, что существуют 2-поверхности, ортогональные групповым орбитам, и будем исходить из интервала
ds2=e~2u [vMNdxMdxN+ W2d<p2] -f-е2^{dz+Adq>)2, (20.1)
где функции не зависят от <р и г. [Такие 2-поверхности должны существовать для полей, регулярных на оси симметрии и поэтому удовлетворяющих условиям
= 0 = TfTa (20.2)
(ср. с § 17.1).] Отметим, что плоскую симметрию (см. § 13.4, 13.5) можно рассматривать как частный случай цилиндрической [при ^4=0 и е~2иW2=Q2u-^-Y2, q>-*-x, z-*-y из метрики (20.1) получается метрика (13.9)].
203
Цилиндрически-симметричный интервал (20.1) формально можно получить из соответствующего стационарного аксиально-сим-метричиого интервала (17.15) с помощью комплексной подстановки
Z-нг; г-Mf; Л-нЛ. (20.3)
Индефинитную 2-метрику умлг в (20.1) всегда можно выбрать в виде
yMNdxMdxK=e2k{dp2—dt)2. (20.4)
В этой главе мы будем всегда предполагать, что цилиндриче-ски-симметричные поля удовлетворяют условию (15.5), т. е.
T*t + rt= 0, Witf-Wttt = O. (20.5)
а градиент W является пространственно-подобным вектором:
W * — fS < 0, (20.6)
так что можно принять W=p. (Аналогичные решения можно получить и при и?о№-а<0, приняв W=t.) Если поле допускает зеркальную симметрию <р->—<р, г-*-—г, то можно положить Л=0 в интервале (20.1); тогда два коммутирующих друг с другом вектора Киллинга будут ортогональны гиперповерхностям.
