Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
206
ференциального уравнения второго порядка для и:
u"-CV + 3(C” + e_at)u = 0. (20.15)
Произвольная функция % и постоянные интегрирования должны выбираться так, чтобы выполнялись условия регулярности на оси симметрии (например, еР/р->-1 при р->-0). Как метрика, так р и ц определяются из уравнения (20.15) и из равенств
(Р - Y)' = е“С; (5P — I*) = 2 (ес)"/е';
(20.16)
4*,/> = (С' + 3«')(С'- S') -е-2С.
Ивенс исследовал модели, обладающие уравнением состояния P=ConstM,. Выбор ес=р приводит к очень простому решению (при 5р = ц). Тейксейра и др. [Teixeira е. а. (1977а)] исследовали статические идеальные жидкости при Зр = ц, см. также [Бронников (1979)].
Красиньский [Krasinski (1978)] рассмотрел стационарные ци-линдрически-симметричные поля идеальной жидкости, вращающейся твердотельно (см. § 19.2.2) в предположении, что вектор Киллинга g, параллельный оси вращения, пропорционален вектору вращения ю:
ClAl = 0; ®“ ^ BabedUbUe. а. (20.17)
Это решение имеет вид:
ds* = (Eph)-1 Ac* +Ь-lEh-W + Ьр~'Vdz1 - h~ * (dt + xdy)\ E=bx'-F(x), F" = 2xJ(x); p = ah'E~1 exp J E- 1Jcdxj;
ft = a1'3 (20.18)
(а и b — постоянные), где u=u (x) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
Еи" _ (?' _ Ьх) u' - -§- и (E" - E' tE-1 + ЬхЕ'Е-* - 6) = 0. (20.19)
Давление и плотность массы вычисляются по формулам:
P= J ph'dx, H-=Ph — р. (20.20)
Функция f(x) в метрике (20.18) произвольна, и уравнение состоя-
ния не накладывает ограничений. При f(*) = l уравнение (20.19)
решается через гипергеометрические функции [Krasinski (1974, 1975)].
207
20.3. Вакуумные поля
Уравнения для цилиндрически-симметричных вакуумных полей можно получить с помощью комплексной подстановки (20.3):
2W(WUMyM = e*uA'MAM; ^e44Af):M=0, (20.21)
если исходить из соответствующих уравнений для стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей. Теперь метрика умн обладает сигнатурой ------). Выбирая форму (20.4) и W=р, при-
ведем уравнения (20.21) к виду
и. ?Р4- р- 'U „ - и, tt = -J- P-*е41/ (Л.а. А
(20.22)
А рр - р-М р - A1 и = МА, ,?/., - A f), причем функция k определяется соотношениями:
К P = P (и. ,,+ f/.<,) + Xp"'e^(A S + А'9*У,
(20.23)
k,t = 2 Рг/ pt/ , + -і-р-'е^д fA,t.
Условие интегрируемости уравнений (20.23) удовлетворяется в силу уравнений (20.22).
Подстановка (20.3) переводит (действительные) стационарные аксиально-симметричные решения в (вообще говоря, комплексные) цилиндрически-симметричные решения. В некоторых случаях удается получить действительные решения путем аналитического продолжения входящих в них параметров. Однако эти вопросы еще ждут своего систематического анализа.
Папапетру [Papapetrou (1966)] указал действительное решение уравнений (20.21), не имеющее, по-видимому, действительного стационарного аксиально-симметричиого аналога. Пользуясь изотропной координатой и, его можно записать как
4MNdxMdxN = е** [—dudv -f- G (и) Odut];
G(U)-F (U)IF (и); W = (и — V') F (и);
e4U = WF(u); Aa = V-1. (20.24)
В это вакуумное решение входит произвольная функция F(и). Конформный множитель еа* был найден Рессом [Reuss (1968)].
Цилиндрически-симметричные аналоги статических аксиальносимметричных решений (класса Вейля, см. § 18.1) характеризуются наличием двух пространственно-подобных векторов Киллинга, ортогональных гиперповерхностям. При этом можно положить .A==O1 и все решения данного класса можно получить, решая цилиндрическое волновое уравнение и производя криволинейное ин-
208
тегрирование:
р-'(р?/р Д р-Uitf = 0;
Ь = S Ip (^. Д+ и, t*) dp+2ри fU, fdt] • (20.25)
О комплексной подстановке f-мг, г-н/, переводящей решение
(18.2) класса Вейля в (20.25), впервые упоминал Бек [Beck (1925)]. Истолкование решений уравнений (20.25) как цилиндрических гравитационных волн принадлежит Эйнштейну и Розену [Einstein, Rosen (1937)]. Из-за цилиндрической симметрии волны Эйнштейна — Розена не могут служить внешними полями ограниченных излучающих источников. Решения класса (20.25) принадлежат типам I и II по Петрову [Petrov (1966), с. 447]. Волны Эйнштейна — Розена исследовал Мардер [Marder (1958а,Ь)]. Взяв суперпозицию цилиндрической волны и плоского пространства-времени, Мардер [Marder (1969)] построил волну импульса со сферическим фронтом. Применение аналогичного метода к статическим решениям Вейля см. в § 18.2.
Cm.: [Stachel (1966); Kompaneets (1958); GCox, Kinnersley (1979)].
20.4. Поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого излучения
Метрика (20.1) близко напоминает метрику для стационарного аксиально-симметричного случай, так что к ней применимы многие выводы, полученные в гл. 17. Мы можем поэтому ограничиться векторами Киллинга, ортогональными гиперповерхностям (зер -кальная симметрия при 2-»—г, ф->—ф) и записать
ds1 = е“21/ [е** (dp* - dt2) -\-W*<bр‘] + ewdz\ (20.26)
Существование вектора Киллинга ?=дг позволяет ввести скалярные действительные потенциалы 0 и rj (ср. с § 16.4):
|Л?F*ab = Q.b- ITlift. (20.27)
Если 0 И Tl зависят от р и /, то отличные от нуля компоненты ТенЗОрЯ НаПрЯЖеННОСТИ Fmn
