Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Стационарное пространство-время инвариантно задает дифференцируемое 3-многообразие S3, определяемое гладким отображением (см. § 2.2) 1F : Л-+-ІІЗ [Geroch (1971)], где Л — пространство-время V4. a Y=1F(P) описывает огибающую временно-подобного вектора Киллинга |, проходящую через точку р в V4. Элементами S3 являются орбиты одномерной группы движений, которую генерирует |. 3-Пространство S3 называют фактор-пространством ViZGl.
158
Подпространства V3 (ортогональные киллинговым траекториям) можно естественным образом ввести только в случае статических гравитационных полей. Фактор-пространство S3 дает обобщение, применимое как к статическим, так и к стационарным пространствам-временам, и его следует рассматривать как форму отображения, а не как гиперповерхность в V4.
Героч [Geroch (1971)] подробно показал существование однооднозначного соответствия между тензорными полями на S3 и тензорными полями Т'аь на V4, удовлетворяющими условиям
Si0T^6 = O; гХаЬ.=0\ 2^=0. (16.1)
Тензоры на V4, удовлетворяющивчЭтим условиям, называются просто тензорами на S3, и алгебра пространственно-временных тензоров, удовлетворяющих (16.1), полностью и однозначно отображается в тензорной алгебре на S3. Примерами тензоров на S3 являются проекционный тензор hab (метрический тензор на S3) и тензор Леви — Чивиты Eabc на S3, причем
hab = gab + UaUb, Ua = (—F)_1/2?°; F = Iala (16.2)
и
Є abc=== SdabcU^' (16.3)
Производная на S3 определяется как
Г"6 =Zzf ¦¦-HblH1T d4 (16.4)
а-• Il е a d е С"\1 ' 1
и удовлетворяет всем аксиомам для ковариантной производной, связанной с метрикой * hab- В частности, соответствующая связность симметрична (кручение отсутствует), а метрический тензор hab является ковариантно постоянным, hab п с =0.
Тензор кривизны Римана на S3 можно вычислить, исходя из тождества
Va\\bc Va Il cb= V ^dabc (16.5)
[ср. с (2.78)], где V — произвольное векторное поле на S3. Тензоры кривизны на S3 и V4 связаны между собой соотношением
= VVfl {*w. + -r р W + ^ И.:,)} <16-6>
* Излагаемый в этом разделе проективный формализм по существу входит в состав (так называемого в отечественной литературе) монадного формализма (метода), обычно используемого для задания систем отсчета в ОТО. Монадный метод состоит из четырех частей: 1) алгебры [расщепления метрического тензора (16.2), определения проекторов на выделенное направление S3 и т. д.];
2) определения трех физико-геометрических тензоров (вектора ускорения, тензора угловой скорости вращения и тензора скоростей деформации [см. сноску на с. 59]; 3) задания монадных операторов дифференцирования; 4) записи всех основных соотношений ОТО в монадном виде, т. е. через скаляры, спроектированные на S3 величины, физико-геометрические тензоры и монадные операторы дифференцирования. — Примеч. ред. перевода.
159
[Lichnerowicz (1955); Jordan e. a. (I960)]. Для упрощения соотношения мы введем вектор вращения ь>:
^ sabc%tc. d- <*>% =0; <^со = 0. (16.7)
С помощью соотношения (3.37) для комплексных самодуальных бивекторов (в данном случае |*а;Ь=|а;Ь-И^ ь получим простое
равенство
Kb=F-'(*abc<tc°>d + 2\aF'b,) (16.8)
для ковариантной производной вектора Киллинга относительно пространственно-временной метрики gab, так что соответствующие члены в (16.6) можно исключить, а полученное выражение использовать при вычислении тензора Риччи.
16.2. Тензор Риччи на Из
Сначала мы введем на S3 комплексный вектор Г:
re = -2R*c;e = -F0 + i®e; Г\ = 0; SC1T = O. (16.9)
На основании соотношения (8.24) и свойств симметрии тензора кривизны (2.80) можно легко убедиться в выполнении соотношений
С* = -№ t\b=F-'W*- O6-IO)
Дивергенция комплексного вектора Г равна:
Г». о = Г“ н 0 + i- F- 'F Ta = - F-TT0 + (6.11)
где действительная и мнимая части дают
F' 0 н0 = ± F-1F 0F -» - F-'*у - 2WRab (6.12)
и
.-,.=Iff/. (613)
Соотношение (16.12) выражает компоненту IaIbRab тензора Риччи многообразия Vi через тензоры на S3 и их ковариантные производные. Для получения аналогичной формулы, выражающей компоненты haclbRab, мы вычислим ротор вектора и>:
=8— W Г); с h\ahSb\ =WVRraJflPn =
= - 25d/?dTa6] J* = SabmnVRnd?- (6-14)
Этот краткий расчет приводит к равенству
(_ ру-Щealcw^b = 2habRbckc (16Л5)
Видно, что, по крайней мере локально, обращение в нуль компонент habRbdc влечет за собой градиентный вид вектора вращения b> : COa=COl0 (см. теорему 2.1).
160
Наконец, прямым вычислением можно получить формулу
L = - Kb^) +
+Л7Х. (16.16)
если подставить соотношение (16.8) в (16.6), свернуть выражение (16.6) для тензора кривизны с проекционным тензором и использовать некоторые предыдущие соотношения этого раздела.
Соотношения (16.12), (16.15) и (16.16) выражают тензор Риччи стационарного пространства-времени через тензоры и их кова-риантные производные на 3-пространстве S3. Все эти соотношения
записаны в ковариантной четырехмерной форме и отнесены к про-
извольному базису {е0} многообразия Va. Несмотря на это они в действительности представляют собой трехмерные соотношения. Если взять такой базис, что
