Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
ds*=e2X <r> *> (r2dQs + dr*) - Я’е-2'(<) Л*; (14.44)
D
е~х = ]ґ2Ьиг; 6 = Const ^=0;
(14.45)
f г 2 dU =-?-In г+ В (г),
J У —а1 + Ь2иг + Ь (Зег/ - хоН.)/6
или
е-х = А(0+В(0Л 12АВ = Зе^ — X0Ji {Ь =0) (14.46)
[Kustaanheimo (1947)].-Частные случаи переоткрывались и обсуждались заново несколькими авторами, см. [Cuptta (1959)] и ссылки, приведенные в [Cook (1975)]. В общем случае давление р зависит как от t, так и от г, частный случай p=p(t) содержится в решениях, рассмотренных в следующих параграфах.
148
Решения с уравнением состояния р=р(ц)0. Решения с уравнением состояния р=р(ц) обсуждал Уэймен [Wyman (1946)], а частные случаи рассматривал Тауб [Taub (1968)]. В силу (14.18), VfY=X и (14.25) они удовлетворяют (как бессдвиговые решения для идеальной жидкости) уравнениям
// = —(н-(-/?) Я'/Я, у. = - 3(|i-f р) Я. (14.47)
Если ц+р равно нулю, то ц и р — константы, и искомое решение является статическим вакуумным решением Коттлера (см. теорему 13.5 и табл. 13.1).
Если |і+р отлично от нуля, но ц' исчезает [ц=ц(/), p=p(t)\, то получим \i'=pr=v'=Xr=0. Выбирая координату времени t так, что V равно нулю, из (14.26) делаем вывод о том, что выполняется соотношение
Я = Я,(г) + Я,(0. Я = Яг = е?. (14.48)
Такая специальная зависимость величины X от времени согласуется с (14.42) только в том случае, если F=O=F. Поэтому решения с ц=ц(/), p=p(t) являются частными случаями решения (14.46):
е-* = Л (0 [I -h -J- г*]; є=0, + I- ev = l. (14.49)
Это не что иное, как вселенные Фридмана (см. § 12.1).
Если ни ц+р, ни fі' не исчезают, то X не равно нулю и может быть исключено из (14.46), что ведет к
^'=(,1 + /0 ц'. (14.50)
Интегрируя уравнение (14.50), находим
In (i = In Af (p.) -(-Ina (t), InM(Ix)^jt- +%,г. (14.51)
Второе интегрирование дает
H (и) = a (0 + р (г), Я (и) ^ j M-1 (и) d,x. (14.52)
Выбирая временную координату так, что a=t [равенство а=0 запрещено соотношениями ц-{-рф0, ХфОгф ц^О, ср. с (14.47)], можно увидеть, что в силу (14.52) и (14.47) функции ц и X должны зависеть от времени специфическим образом:
ц(г, 0=ц(у); Mr1 v=t+G(r2). (14.53)
Для определения функций ^i, X2, G и функции F, входящей в первый интеграл (14.30), подставим (14.53) в (14.30). Записывая
e~x = L = u(v)l{x)\ х = г2, (14.54)
получаем
u(G,xxl+2G,xl,*)+ul,XX-^-UlG2tx=U2I2F. (14.55)
149
В этом уравнении только переменная и и ее производные зависят ОТ /. Из предположения об ОТЛИЧИИ OT нуля величин Uy I И G,x следует, что либо и, й2 им пропорциональны друг другу (что невозможно), либо хотя бы один из коэффициентов при этих функциях исчезает. Из приведенных рассуждений следует, что выполняются соотношения
G xxl-\-2Gxlx=0; f.xx—0; « = const; Ut = PFUtG \ (14.56)
Можно показать, что два случая 1=ах-\-Ь и 1=Ь эквивалентны [т. е. связаны преобразованием (14.21)] и что F=О приводит к JX=JA(/). Таким образом, есть смысл рассматривать только случай F=I, /=Const. Теперь выберем произвольные функции интегрирования в решении с F=I так, чтобы Ji и к имели бы функциональную форму (14.53). Это можно проделать с помощью специализации соотношения (14.35):
[Wyman (1946)]. Вычисляя Ji и р из (14.27), несложно проверить выполнение равенств ji=ji(/-j-r2) и p=p(t-\-r2).
Как показано в предыдущем параграфе, решения без сдвига известны достаточно хорошо. В противоположность этому пока получено и исследованб. только несколько решений CO сдвигом. Вопросы, связанные с физическим подходом к основным величинам и уравнениям, рассматривали Мизнер и Шарп (Misner, Sharp
Был получен отрицательный результат, касающийся решений со сдвигом [Thompson, Whitrow (1967)]; Misra, Srivastava (1973)]: если в сопутствующей системе отсчета (14.16) плотность массы ji является функцией только от / и если метрика регулярна в точке г=О (т. е. У=0, Y'=ex), то 4-скорость обязательно является бессдвиговым вектором.
Решения CO СДВИГОМ, HO без ускорения. При Ua=O величины V и р являются в сопутствующей системе отсчета (14.16) функциями только от времени /. Тогда из уравнения поля (14.17г) следует
(14.57)
е“х = ы(/ + гг), е_2М<)= —4At, dst=e2X (rW+dr*) - А2ег/ dt‘
-21 V)
14.2.4. Решения с'о сдвигом, отличным от нуля
(1964)].
150
Yf = XY'.
(14.58)
Если У'=0 (YV=const), то> выбирая Y=t, оставшиеся уравнения поля (14.17) можно записать в виде
XoiUi = - 2i./e-2v + I + е-2> ; (14.59а)
K'Pt* =2vte~2' - I - e"2v ; (14.596)
х0/7 = — e“2v [І+ Я8 — Яу-}-(Я — v),/f]. (14.59в)
Эти уравнения (и их решения) имеют полное сходство со статическим случаем [ср. с § 14.1 и (14.4)]. Решения с e*-=tn рас-
сматривались .Мак-Витти и Уилтширом [McVittie, Wiltshire (1975)]. Решения, допускающие дополнительный пространственноподобный вектор Киллинга, обсуждали в гл. 12.
Если У'ФО, то, выбирая v=0, после интегрирования уравнения (14.58) получим
еЛ =Z1V(I-BHr)), в='0, ±1. (14.60)
Из уравнения поля (14.17а) следует
v.0p (t) У2 = — 2YY — Y2 — ef2 (г). (14.61)
Уравнение (14.17в) получается из (14.61) дифференцированием по г; ц можно вычислить из
