Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
P = P1 (362* - 12г7 + Z1*); F = (216 - 108z* + ISz1* - z,s).
(13.47)
Решение для n=const дано Таубом [Taub (1956)] и, в терминах гипергеометрических функций, Авакяном и Горским (1975), и Горским (1975); частным случаем этого решения является (13.32) (при ц=—P=A).
Нестатические несжимаемые жидкости (n=const) исследованы Таубом и другими. Табенский и Тауб [Tabensky, Taub (1973)] получили общее плоско-симметричное решение для невращающейся жидкости с уравнением состояния р=ц (см. также § 20.5 и теорему 15.1):
c?s*=r,/2ee(dz’-dtt)-\-t(dxt+dyt), t>0;
Q=2 ft [(о*,, + а\г) dt + 2о /О gdz]\ (13.48)
«’.«+^'о^-о.гг=0;
*./>=*.**•=*1/2ё“ (O1if - OtJ, (KtP)1'2 U1 =Of.
При a=const линейный элемент (13.48) переходит в (13.31).
Если метрика зависит только от отношения z/t, то уравнения поля для идеальной жидкости сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям [Taub (1972)], а уравнение состояния обязательно принимает форму р=(у—1)й-Зависящая только от времени метрика
ds1 = - dt1+е2? <0 (d;с*+ dt/*) + e2e т dz• (13.49)
описывает плоско-симметричные модели типа I по классификации Бианки (см. § 12.4).
Cm.: [Roy, Singh Р. (1977)].
Глава 14
Сферически-симметричные решения для идеальной жидкости
14.1. Статические решения
14.1.1. Уравнения поля и первые интегралы
Статические сферически-симметричные решения для идеальной жидкости широко обсуждались в качестве релятивистских моделей звезды, находящейся в механическом и термодинамическом равновесии. Обычно эти решения записываются в шварцшильдовых (или канонических) координатах в виде
ds*=r*dQ* + e2X(')dr,-e2v(r)d**; dQ*=d&* + sin*^*. (14.1)
140
Тогда уравнения поля принимают форму
X0K1= - GV2 = [г (1 - е~2Х)]'; (14.2а)
^pri = Gi3Tt = - I + е-2Х (I -f 2г/); (14.26)
х„р = G1l=Gt2= e-n [v" + v' * - v'A' + (v' — X')!г\. (14.2в)
К этим уравнениям следует добавить уравнения состояния
/(*х, /7)=0. (14.3)
Из четырех уравнений (14.2), (14.3) можно определить четыре неизвестные функции fi, р, Ї. и V. Физически, для получения реалистической модели звезды, следует исходить из разумного уравнения состояния и ввести некоторые условия регулярности, CM. [Glass, Goldman (1978)]. Однако практически желание найти решения в аналитическом виде заставляет решать уравнения поля при специальном предположении о поведении одной из метрических функций или плотности энергии, а уравнение состояния вычисляется на основе окончательной формы линейного элемента.
Уравнения поля можно привести к различным математическим формам, каждая из которых допускает свои, отличные от других приемы получения решений. Часто исходной точкой при построении точных решений является условие изотропии (давления) G33=G4» которое в подробной записи имеет вид:
v"_|_v'*_v4'-(v' + a')/r-f (е2Х- 1)/г*=0. (14.4)
Если решение (v, X,) этого уравнения получено, то ц и р можно вычислить из (14.2).
Первый интеграл уравнения (14.2а) очевиден:
т
е-2Х = 1 — 2т (г) г; 2т (г) = и0 jV (г) г2 dr. (14.5)
Подставляя это выражение в (14.2в), получаем
2г (г—2m)v'=x0r3/7+2m. (14.6)
Исключая v' с помощью уравнения
(H-p)v'=—р', (14.7)
непосредственно следующего из Tabtb=0, находим
2r{r—2m)p'=-{\i-\-p) (х0г3р+2т). (14.8)
Соотношения (14;5) — (14.8) могут быть полезны, если X(г), ц(г) или уравнение состояния заданы заранее.
Иная форма уравнений поля была получена Бухдалом [Buch-dahl (1959)] с помощью введения новых переменных
X = г1; C^=ev; W=Tnr1. (14.9)
Уравнения (14.5) — (14.8) дают
е_2Х = 1 — 2xw; •x.t\>. = §w-{-4xw x; (14.10)
KoP=-2ау+ (4—8 xw)l,x/t,
141
и
(2—4xw)t,,xx—(2w-\-2xw,x)t,,x—w,x%=0. (14.11)
Последнее уравнение (14.11)—это дифференциальное уравнение, линейное по обеим переменным ? и w. Если одна из переменных задана подходящим образом заранее, то для другой из этого уравнения можно получить аналитическое выражение. Более того, если благодаря некоторому иному методу решение (?, w) известно, то
а
(возможное) новое решение (?, w) порождается выражениями f=C, W = W-I-C(і: + 2хі:,х)-гехр [4 JCiJe(CH-2*CiJe)-'<ix] (14.12)
[Heintzmann (1969)]. Если решение (?, w) уравнения (14.11) известно, то "К, ц и р можно вычислить из (14.10).
Иногда оказывается полезной форма записи метрики в изотропных координатах
ds2 = е2Х (r2dQ2 + dr2) - e2W (14.13)
[Kuchowicz (1972)]. Даже общая форма линейного элемента
(13.8) может упростить аналитические выражения для решения [Buchdahl (1967)].
14.1.2. Решения
Наиболее хорошо известным сферически-симметричным статическим решением для идеальной жидкости является внутренняя метрика Шварцшильда [Schwarzschild (1916в)]
on г * 36Vl—гг/Лг — а
Xjj, = 3J? =COnst; Х.В =------------— - ¦¦¦—
Ri (а — b Vl — ггл*)
(14.14)
ds! = r‘dQ*-i- dr*(I - r*/R‘) -(а-b/і-г’/ЯТ dt\
Для того чтобы это решение совпадало на некоторой границе г= =го с внешним решением Шварцшильда (13.19), константы а и & должны удовлетворять равенствам а=3]^ I—r2o/R2/2, Ь= 1/2.
Решения с |i = const, обладающие сингулярностью в точке г = =O (е-2Х = 1 — с/*+ сгг~\ рассматривали [Volkoff (1939\; Wyman
