Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
do2=Y2[(dxl)2±Z2(x\ k)(dx2)2] (13.1)
с k=KY2 и Е(*!, ^=SinA:1; х'; sh*1 соответственно для k=l, О,
— 1, как в § 8.5. В (13.1) ив последующих формулах верхний и нижний знаки относятся к пространственно- и временно-подобным орбитам соответственно. Функция У в (13.1) не зависит от координат А'1 и X2 на орбитах V2. Однако в общем случае У зависит от X3 и X4, так как орбиты V2 — это подпространства (je3=const, Xi= =const) пространства-времени У4.
Из тейремы 8.18 следует, что орбиты V2 допускают ортогональные поверхности в V*. Выполняя преобразование координат на 2-поверхностях, ортогональных к орбитам, можно привести метрику пространства-времени к диагональной форме [Goenner, Stachel (1970)];
ds* = Y* [(rfjc1)2 ± E2 {x\ k) (djeV) + е2Х (cfjcs)!^ e2v (dx')';
(13.2)
Y = Y(x\ лг'*); Л=Л(л:’, л:4); v=^v(a:\ х*).
Отметим, что для временно-подобных орбит T2 координата х2 — временная, в то время как х4 — пространственная. Для простран-ственно-подобных орбит V2 иногда бывает удобней использовать метрику пространства-времени
ds2 = Y2(u, и) [(rfjc1)2H-S2(л:1, k)(dx2)2] — 2G(u, v)dudv (13.3)
[ср. с метриками (13.18) и (13.24)].
В случае S2 будем различать У,тУ'т>0 (/^-область), У,тУ,т<0 (Г-область) (см. [jMcVitte, Wiltshire (1975)] и приведенные там ссылки) и У,тУ,т=0. В силу лоренцева характера сигнатуры метрики, случай Y,mY’m<Z0 не может иметь места для временно-по-добных орбит T2.
Координатные преобразования, сохраняющие форму метрики (13.2), можно использовать для уменьшения числа функций в этой метрике. Например, можно положить Y=X3 (канонические координаты) или Y=x3& (изотропные координаты), что обеспечивает выполнение условия Y,mY'm>0.
9—99 129
В координатах, соответствующих метрике (13.2), векторы Киллинга Ia даются выражениями
I1=Cos ^d1-Sin JC2SllZ-^2, |2=д2,
I3=Sin jc2d,+cos Ar2E1IS-1^2 (13.4а)
для пространственно-подобных орбит и
I1=Ch JC2^1-Sh JC2ZllS-^2, |2=а2,
I3=-Sh jc^+ch JC2EllE-1^2 (13.46)
для временно-подобных орбит. Здесь 2=2 (jc1, Л) =sin JC1, JC1, shjc1 соответственно для k=l, 0, —1. Присутствуют следующие типы групп: для S2-IX (6=1), VII0 (*=0), VIII (*=—1); для T2-VIII (k=\), VIo (k=0) и VIII (k=—1). Эти типы Бианки относятся к классу G3A (см. § 8.2). Пространственно- и временно-по-добные метрики на V2 и соответствующие им группы связаны комплексными преобразованиями.
Существование групп движений Gr более высоких размерностей (г>3) вносит дополнительные ограничения на функции v, А. и У в метрике (13.2) [Takeno (1966)]. Для некоторых типов тен-. зора Риччи наличие группы G3 на V2 влечет за собой G4 на V3 (см. § 13.4). Модель вселенной де Ситтера (8.36), модели Фридмана (см. § 12.2), решения Кантовского — Сакса (см. § 12.12) и сферически-симметричные решения для идеальной жидкости (см. § 14.1)—все эти 'решения допускают Gr при г>3 с подгруппой G3 на V2.
Для метрики (13.2) представляется естественным следующий выбор тетрадных компонент gab и базиса 1-форм {со0}:
ga6 = diag(l,±l, 1,=F1); (13.5)
(Ii1 = Ydx1-, to2 = УЕ(jc1, k)dx2; сі)3=еЧл?; e>4=evdx*.
Отличные от нуля тетрадные компоненты тензора Эйнштейна Gbа в этом базисе имеют вид:
о\=- тг + f е~г‘ (>"' - rv + ^A-) =р f е-г- (ri+^);
(13.6а)
G*, =- =ї= у- є"2’ (f-Yv + ^gr) +
+ ^_e-*x(yV +^-); (13.66)
G\ =G*, = - e2X (v" + v' * - vT + + -f - v' - -f. Л') =
=рє-2у(я+я*-ау+-^+4- я-^v); (13.6b)
G4s = Zhy- e-v-x (Y' - Yv' - YrX). (13.6r)
130
Штрих и точка обозначают дифференцирование по координатам JC3 и X4 соответственно.
Cm.: [Israel (1958); Takeno, Kitamura (1969); Collins (1977)].
13.2. Некоторые следствия существования группы изотропии
Существование группы G3 на V2 влечет за собой присутствие группы изотропии Hі (см. § 9.2), а это, в свою очередь, означает существование (одномерной) линейной подгруппы изотропии группы Лоренца L*+ в касательном пространстве Tp. Следовательно, главная тетрада (см. § 4.2) не может быть определена единственным образом; возможны только вырожденные типы по Петрову (N, D, 0). Когда G3 действует на неизотропных орбитах, H1 описывает пространственные вращения (бусты) для пространственноподобных (временно-подобных) орбит. Для типа N по Петрову инвариантная подгруппа группы состоит из изотропных вращений (3.15). Таким образом, тип N не может иметь места, и мы тем самым доказали теорему:
Теорема 13.1. Пространства-времена, допускающие группу движений G3, действующую на неизотропных орбитах V2, относятся к типам D или 0 по Петрову.
Аналогично существование группы изотропии Hi ведет к следующей теореме:
Теорема 13.2. Тензор Риччи пространства-времени, допускающего группу G3 на V2, имеет как минимум два одинаковых собственных значения.
Любое инвариантное временно-подобное векторное поле в V4 (с равной нулю производной Ли вдоль %А) обязательно лежит в 2-пространствах, ортогональных групповым орбитам S2, так как в противном случае привилегированное векторное поле не будет инвариантным по отношению к действию изотропий. Таким образом, можно сформулировать теорему.
