Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
За исключением последнего все эти решения алгебраически специальны. Шиклош [Siklos (1978)] нашел еще два алгебраически специальных решения. Методом Шиклоша получают еще четыре алгебраически специальных однородных на гиперповерхности пространства Эйнштейна. Каждое из них допускает максимальную группу G3VIil при ft=—1/9. Одно решение
ds* ¦= — 2е " г dud у + №* + e*zdx*) —2е “ Zdydz +
+ (10 + 2Лы, + 2/ы,)е-,гЖ/! (11.45)
относится к типу III по Петрову и является обобщением на случай Л =5^=0 (см. теорему 24.7) метрики Робертсона — Траутмана
(24.15)—единственным алгебраически специальным вакуумным пространством-временем с расходящимися лучами и максимальной группой G3 [Сегг, Debney (1970)].
Второе решение
ds* = ~ e2zdx2 + + 4не -22 dzdy ±
7±z *dydx - 2е-2sdudy - (8Ьги* - е-*гйу* (11.46)
с Л=—8Ь2 и нерасходящимися лучами относится к типу II по Петрову. Оно не имеет (нетривиального) вакуумного предела.
Два других являются решениями с вращением. Одно из них относится к типу N, а другое к типу III по Петрову. Вместе они могут быть записаны в форме
kds* = — 2 [xadu — х j ^dt + a (tdx + dy)Jx +
+ tit) (xadu - (ї^ТЦг)] +(^ + ^)(<*+ О/З*’. (11.47)
Тип N: о=2, kA=—3, f(t) = {t2—1)/2.
Тип III: а=1/2, 78ЛЛ=—32, /(0 = (13^+17)/32.
Решение типа N впервые было получено JIepya [Lerua (1970)], а решение типа III Шиклошем и Мак-Каллумом [Siklos, MacCal-Ium (1980)].
Векторы Киллинга для (11.45) и (11.46) имеют вид:
дх, ду, дг+хдх—2уду, (11.48)
а для (11.47)
ди, ду, хдх+уду—аиди. (11.49)
Модифицированный метод Шиклоша можно использовать для изучения таких алгебраически специальных однородных на гиперповерхности пространств Эйнштейна, у которых кратное главное изотропное направление не лежит на поверхностях транзитивности группы. Все такие метрики относятся к классу Кундта.
111
Теперь мы перейдем к алгебраически общим вакуумным решениям с G3 на V3 в качестве максимальной группы. Во многих случаях существуют решения с однородными S3 и Г3) связанными заменой типа Первым примером такого сорта является хоро-
шо известное общее решение для вакуумной метрики с G31 на S3:
ds* = ttp>dх2 -j- t2p*dy* -(- 12Рчігг — dt2( (11.50)
Рі+Р2+Рз=1=Р2і+Р22+Р2з; Pb P2, Рз — постоянные.
Такая форма метрики обычно ассоциируется с именем Казнера [Kasner (1921)], который дал родственную метрику
ds2 = x2a,dx2 -j- x2a*dy2 -(- х2анІг2 — x2a>dt2; (11.51)
02+аз+а4=аі+1а22+а2з+а24= («і+1)2
и тем самым нашел все аналогичные решения. Другая, часто используемая форма метрики была получена Нарликаром и Кармар-каром [Narlikar, Karmarkar (1946)]. Решение (11.50) легко получается из (11.30), (11.31) и может быть обобщено на случай AgfeO следующим образом [Saunders (1967)]:
A>0, S*=a sharf, exp J S~’df = S_s (charf— I); (11.52а)
A<0, Si = asinarf, exp J S~‘dt = S~‘ (I — cos <ot); (11.526)
<o* = 3|A|, a* = 3/|A| (11.52в)
[ср. также с (13.32)]. Следует отметить, что при P1=If рг=рз= =0 (11.50) описывает плоское пространство-время. Решение (11.51) можно преобразовать в цилиндрически-симметричное вакуумное решение Леви-Чивиты (20.8). Плоско-симметричный случай (а2=а3) неплоского пространства был получен Таубом [Taub (1951)] (ср. с (13.30).
Метрики Казнера играют важную роль в обсуждении ряда космологических проблем (см. обзор, цитированный в § 11.1).
В качестве единственных из пространств Эйнштейна с G31 на T3 и без изотропного вектора Киллинга Келлнером [Kellner
(1975)] была получена (стационарная цилиндрически-симметрич-ная) метрика вида (11.51) и ее обобщение на случай отличного от нуля А.
Общее вакуумное решение с G3 II на S3 [Taub (1951)] с а>“ из табл. 8.2 имеет вид:
dsг = X- * К)’ + X2 [е2М (а»*)* + ег* (а)*)* - е2 (Д+В)* dt*]; (11.53)
kX*=hfo-, 4AB — k*\ k, А, В —константы.
112
Общее вакуумное решение с G3VU на S3, использующее
(11.28):
ds2 = X2 ((CD1)2 - + Y2 ((В*)2+ Z2 (CD3)2;
X2 = (sh 2и)'-Л ‘ (th и)е
Y2 = (sh 2м)1+Л'‘ (th м)г v^h-"Ih- (11.54).
Zs = (sh 2u)l~A" (th ы)-*/(ЗЛ_1 )/Л, e = ztl, Л = ]/^A
удовлетворяет (11.25) при Aф—1/9 [Ellis, MacCallum (1969); MacCallum (1971)]. Существует также частный случай [Collins (1971); Evans (1978)]:
ds2 = X2 (со1)2 _|_ (а>г)2 _(_^'2(1+'4)/('4а+1) (CD3)2 — Л2; (11.55)
X=(l+A~2)t.
Взяв подходящий предел метрики (11.54), можно получить вакуумное решение с G3VIo на S3 [Ellis, MacCallum (1969)]
ds2=u~i/2e“V2 ((to1)2—<i«2) +2ы ((со2) 2H- (со3)2) (11.56)
и общее вакуумное решение с G3V на S3 [Joseph (1966)]
ds2 = sh 2ат ((ш1)2 - dtf + (th a^'VSr (шг)г + (th а^)~1'УГ («>3)г.
(11.57)
Для A=—1/9 (11.54) —единственное частное решение.
Решения с G3 типов III, IV, VIII или IX, за исключением пространств высокой симметрии, неизвестны. Единственными известными решениями типа VII, кроме приведенных ранее алгебраически специальных, являются метрика, найденная Лукашем [Lukash (1974)] с G3VIIt1 при А=4/11 на S3, т. е. с со“ из табл. 8.2
ds2 = — d*2 -f- A2 («о1)2 -f- B2 (е211 (sin ір<в2-)- cos <роо3)г—j—
