Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Интересный специальный случай метрик (10.12) dsi =2dCdC — 2d ufiv — 2 Hdut;
(10.13)
2H = (х1 — уг) cos 2и — 2ху sin 2и, i:=(X+iy)iV2
представляет собой «антимаховскую» метрику Ожвата и Шюкин-га [Ozsvath, Schiicking (1962)]. Она геодезически полна и не содержит сингулярностей кривизны.
С помощью метода, описанного в § 10.1, получена теорема.
Теорема 10.2. Единственное вакуумное решение, допускающее
¦94
просто'транзитивную максимальную группу движений G4, определяется из
tfds* — dx2 -|- е ~ d«/s + е* (cos V(dz2 —dt*) —
— 2 sin xdzdt), (10.14)
где k — произвольная постоянная [Petrov (1962)].
Уравнение (10.14) имеет векторы Киллинга
дг\ ду\ дх -)-уду-)—2“(]^3/ — z)dz—(f-(-(10.15)
а группа удовлетворяет соотношению (8.16) с временно-подобным вектором Р. Существуют подгруппы G3I и VIIh типов по Бианки, действующие на временно-подобных гиперповерхностях. Решение
(10.14) относится к I типу по Петрову, а собственные значения тензора Римана являются корнями уравнения К3==—1 при k—\.
Боннор [Bonnor (1979а)] показал, что это специальный случай цилиндрически-симметричной вакуумной метрики (см. § 20.2).
Cm.: [Debever (1965); Hiromoto, Ozsvath (1978)].
10.3. Однородные неизотропные электромагнитные поля
Теорема 10.3. Единственным однородным полем Эйнштейна — Максвелла с однородным неизотропным тензором Максвелла является решение Бертотти — Робинсона
ds2 = k2 (d02 + Sin2Gdcp2+ dx2—sh2xd/2). (10.16) -
Доказательство. Из условий Райнича (5.31) и инвариантности а можно, подставляя (5.12) в (5.31), получить:
(mcma,c—mcma;c) ka=0\
(fncma; с—mcma;c)/“=0; (10.17)
(kela;с—lcka-,c) ITla=0.
(Отметим, ЧТО ДЛЯ однородных полей Ф[Ф] должно быть константой.) (10.17) показывает, что имеется два семейства ортогональных 2-поверхностей и пространство-время имеет форму (10.8), 2-поверхности имеют равные и противоположные кривизны.
Допускаемая метрикой (10.16) группа G6 не содержит простотранзитивных G4, что согласуется с результатом [Ozsvath (1965b)], согласно которому (10.12) включает в себя все электромагнитные решения с просто-транзитивными G4, удовлетворяющими условиям Fab^Q, k^Fab=О, A=O. Эта группа содержит подгруппы, транзитивные на Sз, Nz и 7Y Поэтому эта метрика была исследована как сферически-симметричное и пространственно-однородное решения [Lovelock (1967); Dolan (1968)]. Впервые она была получена Бертотти [Bertotti (1959)] и Робинсоном [Robinson (1959)].
95
Альтернативные формы линейного элемента имеют вид:
ds2 = -J- (dr* + r*d0* + sin* Odft - dx*); (10.18)
ds2= (I—Xyг) dx2+ (I —Xy2) ~ldy2+
+ (1+Яг2) ~ldz2— (I +Xz2) dt2. (10.19)
Метрика (10.19) соответствует электромагнитному полю
/^ Л.= Kbinfi;
V, = VrAcospt P = Const. (10.20)
Это решение — конформно-плоское; оно является единственным конформно-плоским неизотропным решением уравнений Эйнштейна— Максвелла (без источников) (ср. с теоремой 21.16).
Мак-Леннан и Тариг (McLenagnan, Tarig (1975)}, а также Таппер [Tupper (1976)] представили однородное решение уравнения Эйнштейна — Максвелла с тензором Максвелла, не обладающим симметриями пространства-времени. Эта метрика записывается в форме
ds2 = a2x-2(dx2 + dy)2-\-x2dq>2—(dt—2ydq>)2, a=const (10.21)
и допускает просто-транзитивную группу Gt с векторами Киллинга <?/• и I ssxdx + ydy — fdv, ни один из которых не является ортогональным к гиперповерхности. В (10.-21) и
поэтому в теореме 10.3 существенно выполнение условия, согласно которому симметрии пространства-времени должны быть присущи и тензору Максвелла (см. § 9.1). Решение (10.21) относится к I типу по Петрову, и его тензоры Максвелла и Вейля не имеют общего изотропного собственного направления (несовпадающий случай): оно характеризуется существованием тетрады, распространяющейся параллельно вдоль двух геодезических нерасширяю-тцихся изотропных конгруэнций, соответствующих неизотропному тензору Максвелла. Аналоги метрики Бертотти — Робертсона, т. е. метрики (10.8) с A^=O, см., например, в работе [Cahen, Defrise
(1968)] и в § 31.2.
Cm.: [Kramer (1978)].
10.4. Однородные решения с идеальной жидкостью
Единственным решением с жидкостью и группой Gi является (10.9) с a=const. Уравнения поля дают
A =-?<ji-|-3/») =-I--J**.. (Ю.22)
Для реальности рассматриваемой материи полагаем е=1 и А>0. Это статическая вселенная Эйнштейна. Некоторые альтер-96
нативные метрические формы имеют вид:
ds5 = (I + '*dxadxa - di*\ гг=-.хаха, (Ю.23а)
Adst =dy2 -j- sin* / {йЬг -f- sin2 Bdft) — dt*; (10.236)
Иг2
ds* = (1^АгЭ) + гг (dbг + sin2 Mf) - dt*. (10.23b)
Группа G7 включает в себя просто-транзитивные группы G4 и G6 на S3 с генераторами:
Ge является SO (4) S=SO (3)X-SO (3), возникающей из погружения Ss в Ri (см. § 8.5). Седьмым вектором Киллинга будет St. Скорость жидкости — ковариантно постоянна. G7 имеет подгруппы G4 и G3, действующие транзитивно как на S3, так и на T3.
He существует решений с идеальной жидкостью и транзитивной группой Ge (см. § 9.2). Решения с Gs возникают как специальные случаи решений с транзитивной группой G4. Фактически есть только одно решение такого типа.
