Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
где А и В — константы. Это пространство симметрично [ср. с (31.33)].
Метрика с группой изотропии H3, состоящей из вращений, должна содержать выделенное временно-подобное векторное поле и. Изотропия ковариантной производной от и показывает, что и — бессдвиговое и нормальное векторное поле. Гиперповерхность, к которой ортогонально и, имеет постоянную кривизну (на основании теоремы 8.14). Тогда из (8.38) и теоремы 8.16 получим метрику
ds2=a2(t) (dr2+I2 (г, г) (<*02+sin2ed(p2))— dt2, (10.9)
представляющую собой хорошо известную метрическую форму Робертсона — Уокера [IRobertson (1935, 1936); Walker (1936)]. Так как a(t)—инвариант, будем требовать, чтобы для однородного пространства-времени эта величина была постоянной (предполагаем, что H3 — максимальная группа изотропии).
Теперь рассмотрим возможность существования максимальной группы изотропии Ну.
92
В случае группы пространственных вращений Hi вычисления [Smidt (1968)] показывают, что существует просто-транзитивная подгруппа G4, за исключением случая, когда полной группой движений является Ge, а метрика имеет вид (10.8). То же самое имеет место для группы Hi лоренцевых преобразований (3.17). И, наконец, существует группа изотропных вращений Н\. Проведенные в этом случае на основе метода Шмидта вычисления показывают,, что снова всегда имеется просто-транзитивная подгруппа G4.
Существование просто-транзитивной группы дает возможность свести решение уравнений поля к чисто алгебраической задаче. Для того чтобы это сделать, выбирается система генераторов взаимной группы. Эти генераторы образуют ортонормированную или комплексную изотропную тетраду; коэффициенты связности (см. § 3.3) или спиновые коэффициенты (см. § 7.1) должны быть постоянными. Тогда на основе структурных констант просто-транзитивной группы изометрии легко подсчитывается тензор кривизны [ср. с § 8.6, уравнения (8.52)—(8.54)].
В соответствии с теоремой 8.4 (см. § 8.2) классификация групп G4 допускает дальнейшее упрощение, обусловленное заданием одного из тетрадных векторов вдоль выделенного вектора класса (Ae, Pc или Lb), за исключением тривиального случая A=P=L=O, когда пространство-время — плоское. Окончательная форма тензора Риччи была дана в подробностях в работе [Hiro-moto, Ozsvath (1978)]. (В основном аналогичного результата можно достигнуть, если использовать такие генераторы взаимной группы, что САвс записывается в канонической форме и алгебраически определяет gAB.)
Найденные таким образом пространства-времена имеют достаточно большое число различных инвариантных характеристик и поэтому могут быть получены различными путями. В соответствии с теоремой 8.5 все пространства-времена с просто-транзитивной G4 имеют G3, транзитивную на гиперповерхности и, таким образом, в принципе, относятся к пространствам-временам, рассмотренным в гл. 11 и 21.
Расчет однородных пространств, допускаемых заданным тензором энергии-импульса на основе перечисленных выше различных возможностей, чрезвычайно трудоемок, но в некоторых случаях существуют более элегантные методы (см. § 10.2 и 10.3).
10.2. Однородные вакуумное пространство-время и пространство-время с изотропным электромагнитным полем
Рассмотрим однородное изотропное электромагнитное поле. Выбирая комплексную изотропную тетраду так, что Фг=1, Фо= = Фі=0, из уравнений (7.46) — (7.49) получим
и=а=р—2е=т—2Р=0. (10.10)
Тогда (6.33) показывает, что р=0 (так как р, являясь инвариантом, должно быть постоянной величиной). Из теоремы Гольд-
93.
берга— Сакса следует To=1Fi=O. Теперь (7.43) и (7.44) дают ^2=0, т(т+Р—а)=0, a (7.39) дает а—р=0. Поэтому т=0. Поскольку к должно быть пропорционально ковариантно постоянному вектору, это приводит к плоским волнам (см. § 21.5).
Однородные вакуумные пространства с кратно-транзитивной труппой должны относиться к типам D или N. Для геодезического бессдвигового вектора к тождества Бианки в случае типа D дают
х=о=Я,=у=р=ц=т=я=0, (10.11)
¦а (7.44) затем приводит к 4^=0. Для типа N т является инвариантом, а (7.43), (7.44) дают т=0, снова приводя к плоским волнам. Таким образом, имеет место теорема.
Теорема 10.1. Плоские волны
ds2=2dt, —2ееи du dv—2 du2[a2tfc+
-H?Re(?2e -2ІТ“ )] (10.12)
¦описывают все однородные изотропные поля Эйнштейна — Максвелла (с Z^Fab=O) и все однородные вакуумные решения с кратно-транзитивной группой.
В (10.12) а, b и у — константы, е=0 или 1. При Ьф0 (10.12) ¦относится к типу N, а при Ь=0 к типу 0 по Петрову. Если а=0, то пространство-время — пустое.
Специальные плоские волны (10.35) с группой Gy (см. § 10.5) можно интерпретировать как изотропные электромагнитные поля с тензором Максвелла, не имеющим симметрий пространства-времени (ср. с § 9.1).
Группа Ge, действующая на (10.12) (см. § 21.5), может содержать просто-транзитивную G4 и подгруппы G3 IV, VIft или VIIft типов по Бианки, действующие на гиперповерхностях, см. [Siklos (1976b, 1978)]. Получен один случай, представляющий решение IV типа по Бианки [Harvey, Tsoubelis (1977)]. Групповую структуру вакуумных метрик изучали Клековская и Осиновский [Kle-Itowska, Osinovsky (1973)].
