Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Были также рассмотрены другие тензоры энергии-импульса, выходящие за пределы области исследования, охватываемой этой книгой. Ожват [Ozsvath (1965а,с; 1966)] нашел все решения для пыли (или жидкости) и максвелловского поля, единственное изотропное решение с максвелловским полем с А=/=0, а также решение с неизотропным максвелловским полем и A^s=O.
10.6. Резюме
Результаты этой главы сведены в табл. 10.1.
Таблица 10.1. Однородные решения
Источник Максима пьная группа
Gi о. G7
Вакуум А: Петров Ф А: Плоские волны Ф
Неизотропное поле (10.14) Ф Ф (10.12), а = 0 А: Бертотти — Ро- Ф
Эйнштейна — Максвелла Изотропные поля Ф Ф бинсон (10.16) А: Плоские волны Ф
Эйнштейна— Максвелла Идеальная жид- Л:Ожват Al Гедель (10.12) Ф Л .'Эйнштейн
кость (10.26) — (10.25) (10.23)
А-Член (10.31) А: (10.34) А: (10.33) A :(10.8), специаль- Ф
Чистое излучение ? ный случай /1:(10.12) Л:(10.35)
Примечание. Буква А означает, что все решения известны.
Предполагается, что для решений с электромагнитным полем Fab=0. Пространство постоянной кривизны с группой GlO опущено. Показано, что решения с G7 являются единственно возможными. Символ А означает, что все решения известны; знак ф указывает на несуществование.
100
Глава It
Пространства-времена, однородные на гиперповерхности
11.1. Возможные метрики
В этой главе исследуются метрики, допускающие группу движений, транзитивную на Gз или на T3. Метрики с группой, транзитивной на N3, рассматриваются в гл. 21. Как и в случае однородного пространства-времени (см. гл. 10), мы сначала рассмотрим кратко транзитивные группы. Из теорем 8.10 и 8.17 видно, что допустимы только группы Ge или G4.
Группа G6 на Кз. Из § 10.1 следует, что пространства-времена С группой Ge на Кз имеют метрику (10.9), но a(t) становится переменной, а уравнения поля, неизбежно влекущие за собой тензор энергии-импульса идеальной жидкости, имеют вид [предполагается аф0, так как постоянное a(t) дает только статическое решение Эйнштейна и решение де Ситтера]:
Если можно найти ц(а) из (11.2), то тем самым мы уже имеем точное решение, в котором а можно использовать как новую переменную. Коэффициент при da2 в линейном элементе определяется из (11.1). Однако в физических приложениях важно знать а как функцию t.
Пространство-время с группой G6 на T3 допускает только тензоры Риччи вакуумного и Л-членного типов (и тахионную жидкость, которую мы не рассматриваем). Поэтому они будут давать только пространство постоянной кривизны с полной Gio-
Следует отметить, что (10.9) всегда допускает группу G3, транзитивную на гиперповерхности ? = const, а именно: G3 V и G3 VIIft, если е=—I; G3 I и G3 VIIo, если в=0 и G3 IX, если е=1.
Группа G4 на F3. Пространство с G4 на S3 или на T3 легко определяется следующим образом. На основе метода Шмидта (см. § 8.6) отыскивается возможная группа G4, после чего с помощью теорем 8.16 и 8.18 находится полная метрика [MacCallum (1980)]. Эти метрики относятся к типу D по Петрову (или конформно-плоские), если изотропия не является изотропным вращением. Все они находятся среди метрик, полученных Каэном и Дефризом [Cahen, Defrise (1968)] и Дефризом .[Defrise (1969)], за исключением наиболее общей формы одной из метрик типа N по Петрову. Почти полный перечень дан Петровым (1966).
Изотропия пространственного поворота. Сначала приведем метрики с G4, которые локально вращательно-симметричны (л. в. с.), т. е. в которых группа изотропии является пространственным вращением [EIlis (1967); Stewart, Ellis (1968)]. Возможные случаи
Згі2=Хо|л-а2+Ла2—Зе; Й-3(И-р)а/а=0.
(11.1)
(11.2)
101
с е=±1 и k=±\ или О имеют вид:
ds*=z(dt2—A2{t)dx2)+B2{t)(dy2+Z2(y, k)dz2)\ (11.3)
ds2=z{dt2—A2(t) (о1)2)+В2у) {dy2+Z2(y, k)dz2)\ (11.4)
ds2=e(dt2—A2(t) dx2) +B2(t)e?*(dy2+dz2), (11.5)
где k и а1 в (11.4) определяются
?=1, ox=dx-\-cos ydz\ (11-6)
k=Q, ol=dx+ydz\ (11-7)
k=—I, al=dx-\-chydz. (11.8)
Все эти метрики, за исключением (11.3) с Jfe=I, можно записать в форме
ds2=t[di»—A2(t) (CO1)2H-S2M [(to2)2H-(to3)2J, (11.9)
где coa дуальны к базису генераторов группы, взаимной G3. Возможны следующие значения G3: G3 I или G3 VIIo для (11.3), k= =0; G3 III для (11.3), k=— I; G3 IX для (11.4), (11.6); G3 II для
(11.4), (11.7); G3 VIII или G3 III для (11.4), (11.8); G3 V или G3 VIIft для (11.5). За исключением группы Оз. III можно использовать значения со® из табл. 8.2; для G3 III используются значения со'®, связанные с со“ соотношениями:
to'2=®1; со'3=со2—со3; со'1=©2+©3. (11.10)
Исключительный случай (11.3) с k= 1 не допускает просто-тран-зитивной G3 и дает только пространственно-однородные решения с этим свойством [Kantowski, Sachs (1966); Kantowski (1966); Collins (1977)]; при е=1 он приводит к сферически-симметричным статическим метрикам. Метрики (11.3) — (11.5) также можно получить из анализа расширенной алгебры Ли групп G3 на S2 или на S3 [Shikin (1972); Kantowski (1966)].
Класс I по Эллису л. в. с.-метрик — это (11.4) с е=1, класс II— (П-3) и (11.5), класс III— (11-4) с е=—1.
