Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Є-21* (cos cpw2 — sin If(03)2)^
(11.58)
A* — a*el,/4 sh_3/825; B2 = 62sh25;
ср = с — У 11^; H = -^-InctgAS; Clt = AdZ,
и вакуумное решение [Barnes (1978b)]
ds2 = A22(2V2kx, e) (du* - edv2) - 2Л5Е (2 V2kx, e) dudv +
-)- P2dx2-\-U2dz2\ k — постоянное, e=zt I,
(11.59)
8—99 113-
U~1 = — У% ekz exp lez> (z — ^j5]
< G3VI0 (VII0), когда e=—l (e=l). 2 определяется как в (8.38).
11.3.3. Решения уравнений Эйнштейна — Максвелла с G3 на VrS
Как и в предыдущем разделе, плоско-волновые метрики и метрики, подобные решению Бертотти — Робинсона, допускают подгруппы G3 полной группы симметрии. Помимо этих и других метрик, допускающих кратно-транзитивную группу (см. § 11.3.1), существует еще несколько известных случаев.
Решения уравнений Эйнштейна — Максвелла с G3 I на T3, которые могут быть интерпретированы как цилиндрически-симмет-ричные статические метрики, рассматриваются в § 20.2. Отметим, что различие между продольным и азимутальным полями зависит •от того, какая из рассматриваемых координат является угловой; в остальном эти решения идентичны. Соответствующие решения с G3I на S3 можно получить подстановкой из (20.9). В яв-
ном виде они были даны Даттой [Datta (1965)]. Эти метрики включают интересные решения; решения такого типа даны Розеном [Rosen (1962)] и Якобсом [Jacobs (1969)] и могут быть обобщены на случаи, включающие жидкости (см. § 12.3, 12.4). ¦Они связаны с вакуумным решением (11.53), допускающим G3II [Collins (1972)], и включают плоско-симметричные решения, входящие также в (11.42). Решения имеют вид:
Гриффитс [Griffits (1976а)] нашел метрику с G3I на T3, представляющую взаимодействующие электромагнитные волны. После преобразования координат она может быть записана в форме
ds2=^ (W—dt2) +г4 (г—a) W+
Все другие известные нам решения уравнения Эйнштейна — Максвелла, однородные на гиперповерхностях, возникают из требований (11.35а) или (11.36а). Случай (11.35) при рЧ~Р=0 ведет к (10.21), а в случае невращающихся лучей (при р—р=0) — 114
яли
ds2=—A~ldt2-\-Adx?-\-Bdy2-\-Cdz2\ (11.60)
B=C=t2; А=ЬН—аН; а>0, (11.61)
AB = t\ AC = t2~\ A=Cf + CjT*\ (11.62)
4ц8=A (2-А).
+ г2(dr—2с(г—b) (r—a)dd)2.
(11.63)
к решению
ds — -g-dx2-{-t(e~2xdyt-\re2xdzt) — dt2
(11.64)
с GsVI0 [паа~0) на S3 [Tarig, Tupper (1975)]. Случай (11.36) ведет к решению
с G3VII0 и «о® из табл. 8.2, (11.64) и (11.65) образуют два действительных сечения комплексного многообразия [Barnes (1977)]. Слабое требование (11.35а) удовлетворяется для ряда решений как с вращением, так и без него [Barnes (1978)]: решения с вращением допускают G3I или G3II на S3 или на T3. Для случая без вращения было найдено только вакуумное решение с G3 VIo на Sa или T3. Среди них необсужденными ранее являются только «электромагнитные» решения с G3II вида
ds2=P4x2+R2dy2—2е Q2 (dv + 2efxdy) 2+eu2dt2 (11.66)
е=±1; а, Ь, с, f, P — постоянные; а2-\-Ь2-{-с2==1,.
(11.36а) с т+Ят^О аналогичным образом вместе с (10.14) приводит к решениям с G3 I и G3 II на T3, тогда как случай т+я=0 дает вакуумные метрики (11.59) с G3VIo или G3VIIo на T3. «Элек-
ds2—dr* + (ш’)а + г ((ша)а - (со3)2) (11.65)
где
Qp______р~ (Д+ 1)/2а. Qp___________. р— (а—1)/2а .
V2f (I -f і1) QtFU = 1; еФ* = 2bf2F*Q\
(2cf + 6 (і + <»))
(! + <*) :
если |а| < I;
(11.67)
если \а\ > 1;
или для € = 1
Q = I; P=t{E~1)l2-, R=t{E+')l2; Ф, =]/2/elpr'+2if . (11.68)
8*
IlS
тромагнитные» решения с G3 II имеют вид:
ds* = FP-tZ (В, -е) (du' + edv*) - 2FP-*2' (В, -e)dudv-\-
+ Pt(dx- 2 V%fudv)* + Wdzt-, e=± I, f — постоянная;
Г)Я 2c*-f- 6(1+ z)* D I і
P =-------0+7)------’ fl = -TlnF;
a, b, с — постоянные;
a* +ft* = Ci-He; U-'=V2fPF@ai-\-b(l+z,)y, (11.69)
Ф, =Y^bfPtFeip (I -Zt- 2/2)/(1 +z*),
/7 — постоянная;
bz + с — Vаг — e \чУ (a*—e) -(- с + V a* — e
где 2 определяется как в (8.38).
11.4. Решения уравнений Эйнштейна с идеальной жидкостью,
однородные на Тз
Кроме стационарных или статических решений со сферической, плоской и цилиндрической симметриями (см. гл. 13, 14 и 20), а также примеров метрик в § 10.4, известно еще несколько решений уравнений Эйнштейна с идеальной жидкостью, однородных на T3. Космологические модели с идеальной жидкостью, однородные на S3, будут рассматриваться в гл. 12.
Из решений с Gi иа T3 нужно рассмотреть только случаи с л. в. с., так как 4-скорость инвариантна по отношению к действию группы изотропии. Случаи с л. в. с. должны давать алгебраически специальные решения (ср. с гл. 29). Решения класса III по Эллису не могут иметь места для Gi на T3.
Метрика (11.11) с f(w)<0 может описывать пространство-время, содержащее идеально жидкую материю только в том случае, если 4-скорость имеет вид u=udw (это следует из симметрии и /?34=0). Любая пара функций f и Y, удовлетворяющая уравнению
4-Г+^+/[(3-.)-^ + ^-^-] = 0;
(11.70)
е — f О |/(®)| ’
приводит к решению уравнений Эйнштейна с идеальной жидкостью.
Полностью известны решения класса I по Эллису, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна для пыли. Они стационарны и имеют CO^o=O=G. За исключением метрики Геделя (10.25), они 116
