Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Особенно тесная связь существует между вакуумными решениями и решениями для идеальном жидкости с уравнением состояния P=Vi- Уэйнрайт и др. [Wainwright (1979)] разработали процедуру получения решений для случаев, допускающих абелеву группу Gz (см. § 15.1). Решения для дальнейших случаев метрики (11.4) с ?=5^=0 были найдены Мартенсом и Нелом [Maartens, Nel (1978)] в качестве иллюстраций общего метода, в котором дифференциальный оператор в обыкновенном дифференциальном уравнении разлагается на множители. Ниже приводятся окончательные решения и ранее обсуждавшиеся примеры.
Известные решения, вообще говоря, предполагают выполнение уравнения состояния (5.36) р=(у—1)ц для его частных случаев 7=1,4/3,2. Мы будем в этой главе, если не оговорено обратное, пользоваться именно таким предположением. Если направление 4-скорости жидкости совпадает сй< в (11.3) или (11.22), которые вместе исчерпывают все возможные метрики, то, используя тождества Бианки (5.5) и определение (11.28), получаем
= Ж5~зт, Af = O. (12.1)
Общую динамику решений с 4-скоростью, не совпадающей с dt (так называемые «наклонные» решения), исследовали Кинг и Эллис [King, Ellis (1973)], Эллис и Кинг [Ellis, King (1974)]. Из-за неприменимости теорем диагонализации, обсуждавшихся в § 11.2, известно всего несколько точных наклонных решений.
12.2. Космологические модели Робертсона—Уокера
Попытки интегрирования уравнений (11.1), (11.2) предпринимались довольно часто. Обычно в качестве координаты времени кроме a(t) используется новая временная переменная
ЧГ = |^-. (12.2)
Общий анализ поведения жидкостей с (12.1) при S=a был проведен Гаррисоном [Harrison (1967)], который так же дал много ссылок на более раннюю литературу. Помимо метрик де Ситте-ра (3.35) и статической вселенной Эйнштейна (10.23) лучше всего известны решения для пыли с Л=0 [Фридман (1922), (1924); Einstein, de Sitter (1932)] (приЗт=М):
6 = 1, а =т sin2 W/2, 2t=m(W — Sinlr); (12.3а)
е = 0, а = (3 Vm t/2)213; (12.36)
6 = -1, а = /rcsh2172, 2t = W(Shlr-Ir) (12.3в)
120
и радиационное решение Толмена [Tolman (19346)] A = S=O1 d = (2 УЪ t)42.
(12.4)
Общее решение для Ae=O с (12.1) имеет вид:
,=0<Л, = -?- Sh^i(A)''5 ф
E=O = A, а31 = (Ц- Vm t'j ;
(12.56).
(12.5а)
(12.5а)
s = l, A = O, а31 2 = ZTisint Tj1 t
1 =1ЭГ=2Г ^adr' (12‘6а)
є = — I, A = O1 а3т 2 = /rash* Tj1 t
Решения (12.6а) и (12.66), содержащие (12.3а) и (12.Зв) и модели'вселенных Толмена и Уиттекера, получены Гаррисоном [Harrison (1967)]. Решения для A=O и 7=1, 4/3, 2 найдены Таубером [Tauber (1967)] на основе явной конформно-плоской формы метрики [форма, использующая (12.2), известна:как конформная фор* на]..Эти решения с полезным обзором других случаев б]ыли также даны Вайком [Vajk (1969)].
Для Де=т^0 и 7=1 или 4/3 решения можно записать через эллиптические функции [Lemaitre (1927); Edwards (1972); Kharbe-diya (1976)]. При 7=4/3 существует несколько решений, которые выражаются через элементарные функции [Harrison (1967)], например:
где критическое значение величины A, Ac удовлетворяет статическому уравнению Эйнштейна 2Ас=Ио(М'+Зр).
С точки зрения космологии представляет интерес рассмотрение жидкости, смешанной с пылью и некогерентным излучением. Решения для пространств с взаимодействующей смесью этих компонентов были получены многими авторами (см. [McIntosh (1968); Sistero (1972); May (1975); Canap А. (1970)] и содержащиеся там ссылки). При A=O эти решения имеют вид:
a3 = I — ch 2
121
t = (та + N + а*)'12 - \ In (a+-J- + (та + N + a*)1'2 J,
е = -1. (12.9в)
Возможно, что выражения (12.9) не более полезны, чем форма, использующая в качестве координаты времени а. Для практических целей были развиты параметрические формы соотношений
(12.9). Некоторые из них были распространены на случай взаимодействия материи с излучением (см., [McIntosh (1968); May (1975)] и приведенные там ссылки).
Другие комбинации жидкостей, построенные аналогично (12.6), можно проинтегрировать как минимум на языке эллиптических или других специальных функций; подробности см. в работах [Vajk (1969); McIntosh (1972); McIntosh, Foyster (1972); Zaikov (1971); Sistero (1972)].
Cm.: [Knight, Bergmann (1974)].
12.3. Космологические модели с G4 на K3
Метрики (11.3) с е==—1 подробно исследовали в качестве космологических моделей. Уравнениями поля для идеальной жидкости являются выражения (11.32). Известные точные решения этих уравнений собраны Вайком и Элтгросом [Vajk, Eltgroth (1970)]. Для случая A=O эти (л. в. с.) решения представляют собой все частные случаи решений с G3I на S3 (см. § 12.4). Частные решения были получены Дорошкевичем [Doroshkevich (1965)] и Якобсом [Jacobs (1968)], в то время как общее решение для (11.3) с k=0, 1<7<2, может быть представлено либо как (11.33), либо как
dt =Cdift С = (—с)(т-1)/(2-т) [3 (у — 1)]1/<2-т) -L а т/(* т’[2/3(2-
2
Т/(2—Т) .
-Y)] (sh<j>)T/(2_lf);
A=Min (-cf-""2-" (y _ I)2 х
Xl-Lfl|2/3™(сЬф- !),/(2-т)[3(сЬф- 1)]-,/3<2"Т), а>0. (12.10)
