Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Метрики (11.3) и (11.4) можно совместно записать как
dst—Y* (<в)
, У.. wГ*+и^VT (i+4-<r) 'l"’ L 0+4«) J1
(11.11)
где 1ф0 соответствует (11.4), a f(©) может иметь любой знак. Векторы Киллинга метрики (11.11) имеют вид:
I1 = і (1 - 4 Cj) <?с - і (і - 4- ?) V+ 1 +? д‘;
(11. »2)
102
= (1 + 4- c*) dI+(1 + 4^)\+n (C - ^
Із = і (Wc -Wr); S4 = (?.
Может появиться и пятый вектор Киллинга, делающий пространство-время однородным, но такие метрики либо представляют пространство-время, наполненное пылью и электромагнитным полем [Ozsvath, (1966)], либо не имеют определенной физической интерпретации.
В базисе '
°>'=Y -I—-𠻦=¦'; *'=тг;
(11.13)
«* = ^/* + 1/ s=±l
I + J
тензор Риччи метрики (11.11) имеет только следующие, отличные от нуля компоненты:
D _ k 2Pf f'Y' fY>* fY"
^12 — у2 * У4 У У2 ’ У ’
(11.14)
«,.=.(Т+1^+Я
и относится к типу [(11)1, 1] или его специализациям. Метрика
(11.5) имеет в базисе Лш1, Bco2, Bco3, dt следующие, отличные от нуля компоненты тензора Риччи:
D Л , 2Ab 2
Ku-T
A ' AB A1
В , B1 Al
В B2 AB A2
п __А_Й-- q —A/'A-AsI
Л В ’ УІ I >4 В)'
=4+-ж+ -ж---?-•* (11.1?
Тензор Риччи имеет тип [(11)1, 1] или [(11), 2], или из специализации. He допускается никакая группа Os, действующая на Vt. Если Ru=O, то мы возвращаемся к (10.9) с е=—1.
Буст как группа изотропии. Метрики с Gi на T3 и бустом в качестве группы изотропии имеют вид:
ds2=dw2+A2 (w) dx2-j-B2(w) (dy2—22(y, k)dt2); (11.16)
ds2=dw2-j-A2(w) (и1)3—2B2(w)to2©3, (11-17)
Юз
где (11.17) покрывает четыре случая, получающихся при использовании значений <ва из табл. 8.2 для GsV или G8II1 или при использовании а» * для G3 VIII и связанных с ®* соотношениями:
со'1=®1; о)'2=®2+®3; сі)'3=±(со2—о»3). (11.18)
Тогда возможны следующие просто-транзитивные G3; G3 III для (11.16), |ft| = l; G3 I или G3 VI0 для (11.16), Aj=O; G3 VIII и G3 III для (11.17), (11.18); (11.17) с со» для G3 II, G3 II; (11.17) с со® для G3 V, G3 V или G3 VI*, или G3 III.
За исключением последнего случая (который допускает нормальный изотропный вектор Киллинга, ср. с § 21.4), эти метрики можно объединить в форме
с f(w)>-0; (11.19) можно получить из (11.11) при f(w)>0 с помощью комплексной подстановки
которая, будучи приложена к (11.12) и (11.14), также дает векторы Киллинга и тензор Риччи, последний должен относиться к типу [11 (1,1)} или его специализации.
Изотропное вращение как группа изотропии. Метрики (типа N по Петрову) с Gt на Г3 и изотропными вращениями в качестве группы изотропии являются либо специальными случаями метрики (21.1) с G3 на N2 [Petrov (1966); Defrise (1969); Barnes (1978)], либо имеют вид:
Все они имеют тензор Риччи типа [I (1, 2)] или его спецификации, так что допустимы только вакуум и тензоры энергии-им-пуль'са изотропного электромагнитного поля и чистого излучения.
Группа G3 на K3. И наконец, существуют метрики с максимальной группой G3 на S3 или на T3. Это метрики, представленные в табл. 8.2:
Значительное число только что рассмотренных метрик будет вновь встречаться в других частях книги, и поэтому решения соответствующих им уравнений поля в этой главе не приводятся. Это относится к следующим метрикам: (11.3) с k=l или 0 и е=1 описывает сферически- и плоско-симметричные статические метрики и рассматривается в гл. 13 и 14. Метрики (11.3) и (11.5) до-104
(11.19)
C-* и; С — у; t—-iy,
(11.20)
ds2=dw2-\-A2(w) [dy2—2evdv(du+B(w)evdv)]. (11.21)
= + det I ga91 > 0; (11.22)
= dt* + ga? (t) «о eV, det lga$ I < 0. (П .23)
пускают G3 на Sг, тогда как их двойники, содержащиеся в (11.16) Я (11.17), допускают G3 на Ti\ эти метрики обсуждаются в гл. 13. Все решения с группами движений, транзитивными на T3, стационарны или статичны. Метрики вида
ds2=dw2-\-A2 (w) dx2-\-B2(w) dy2—C2(W) dt2 (11.24)
с G3 I на T3 часто интерпретируются как цилиндрически-симмет-ричные статические метрики (предполагается, что у — угловая координата) и исследуются в гл. 20; сюда же включаются некоторые метрики с плоской симметрией. Все решения, порожденные идеально жидкой средой и содержащие группу, транзитивную на S3, рассматриваются как пространственно-однородные космологические модели и обсуждаются в гл. 12.
Метрики (11.16) с k=0 и (11.17) с ш“, соответствующими G3II и G3V1 допускают группы с изотропными орбитами и изучаются в гл. 21, как и все .метрики с изотропными вращениями в качестве группы изотропии. Некоторые случаи метрики (11.23) также допускают группы на изотропных орбитах; например, почти все метрики Келнера с G31 на T3 содержат нормальный изотропный вектор Киллинга [Kellner (1975)], см., например, (18.23), (21.36), (29.19).
Подводя итог по результатам кратно-транзитивных групп G^ на V3, получаем:
Теорема 11.1. Кроме случаев с изотропными подорбитами все метрики с Gi на V3 покрываются метриками (11.11), (11.5) и
(11.19).
11.2. Формулировка уравнений поля
Уравнения Эйнштейна для пространств-времен, однородных на гиперповерхностях, сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Как минимум для пространственно-однородного случая они допускают корректную постановку задачи Коши [Taub (1951)]. В общем случае они не были полностью проинтегрированы, и поэтому используются различные подходы для того, чтобы привести общий случай к более просто интегрируемой системе. Почти все эти подходы были развиты для использования в пространственно-однородном случае. В этом параграфе, если не будет оговорено особо, мы будем изучать именно этот случай. Общий обзор качественных свойств таких решений можно найти в работах: [Ryan, Shepley (1975); MacCallum (1973, (1979а,Ь)].
