Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 10.4. Однородные решения с идеальной жидкостью — это (10.23) и приведенные ниже (10.25)—(10.32). Единственным, таким решением с максимальной группой Gs является решение Геделя (10.25).
Доказательство. Методом, описанным в § 10.1, этот результат был доказан Ожватом [Ozsvath (1965)] и Фансвортом и Керром [Farnsworth, Kerr (1966)]. Их выводы справедливы для пыли и отличной от нуля космологической постоянной, но при замене переменных A-vA—и0P могут быть интерпретированы как
решения с идеальной жидкостью (эти решения — однородны, ц и р — постоянные, и поэтому такая интерпретация никоим образом не влияет на ход рассуждений). Окончательный перечень метрик:
1) решение Геделя [Godel (1949)]
2) решение с Ae=O. Оно должно относиться к случаю (В) в (8.17). Если вектор L изотропный, мы возвращаемся к статическому решению Эйнштейна и метрике Геделя. Если вектор L вре-
и неисчезающими коммутаторами:
(10.246)
ds2 = a1 ^dx2-f- dy2-f-~2 ~ (dtexdzf j; (10.25)
7—99
97
меино-подобный, то получим решение Фансворта — Керра класса I:
ds*=а* [(I -k) (to1)* + (I + А) И* + 2 («о*)’ — (dt + VI - 2feW)‘],
(10.26)
где со0 такие же, как и для IX типа в табл. 8.2. Это —широко обсуждавшееся Ожватом и Шюкингом (1969) решение с вращением. При k=0 (10.26) переходит в статическое решение Эйнштейна.
(10.26) допускает на S3 группу G3, соответствующую IX типу по Бианки.
Если вектор L пространственно-подобный, то имеются две метрики, относящиеся ко II и III классам Фансворта — Керра:
ds*=a* [(I - k) К)* + (I + k) К)1 +
+ (du + У I -2к*ш')* - 2 (to1)1]; (10.27)
ds2=a2[(l+s) (a)2)2+(l— s) (a)3)2+2du2—2(a)1)2] (10.28)
с соответствующими VIII типу по Бианки (см. табл. 8.2). Эти метрики детально исследовал Ожват [Ozsvath (1970)]. Метрики
(10.27) и (10.28) обе содержат как специальный случай (10.25). Обе они допускают группы G3 VIII типа по Бианки на T3 и III типа на Si.
В этих решениях a, k и s — постоянные; в (10.26) и (10.27) A-X0P=X0 (м+р) /2 (I —4k2), а в (10.28)
Л — х»р = 4-х( (н-Н-р);
3) решения с АЕф0. Следуя [Ozsvath (1965b)], мы используем параметр s2, l/2^s2^2. Если p2sl+2s2(l—s2) (3—s2), то
Р* > 0 -,ds*=: а* [(Се“Лг dt + LXTbz dx)* +
+ (<Tftdy)* + dz1- (е~Аг dt + е~Вг dx)1]; (10.29)
Р* = 0; ds*=a*[- (т)!е-гЛ‘ + (е-^+
-1- dz* + (zdt -dxfe-*J; (10.30)
Р’ = — k* < 0; ds' = а* [е"гЬ~* ((cos kz-\-2ks'mkz)dt-\--J- (2k cos кг — sin kz) dx)* — e *г (cos kzdt — sin kzdxf -(-
+ (е~рЧу)* + сІгг], (10.31)
где A=-I-(I-P); 5 = + * = K2s(3-s8); 6C=2A; 6D=
=2B; F = I- s’; a — постоянная. Для всех этих метрик имеем,
Л -XeP = -1-(5*-2) a1; *>+/>) = a* (2ss - 1) (2 - s’). (10.32)
98
Частные случаи s2=2, s2=l, S2=I/2 дают соответственно вакуумное решение Петрова (10.14), решение Геделя (10.25) и вакуумное решение типа N с космологической постоянной (см. § 10.5). Все эти метрики имеют абелеву группу G3 на T3, а (10.29), (10.30) имеют G3 VII/, типа по Бианки на S3; у (10.31) есть G3 типа VII/, на T3; (10.30) имеет группу G3 типа IV на T3 и у (10.29) есть группа VI типа на T3.
Решение Геделя и (10.28) относятся к типу D по Петрову, а другие приведенные выше метрики относятся в общем случае к типу I по Петрову. 4-Скорость жидкости в метрике Геделя является вектором Киллинга, не удовлетворяющим критерию нормальности; вращение о)=ду — ковариантно постоянно. Метрика Геделя имеет интересные глобальные свойства [Hawking, Ellis (1973); Ryan и Shepley (1975)].
10.5. Другие однородные решения
Получены все однородные решения с A-членом. Плоские волны не могут иметь Л-член, и поэтому метрики типа N обладают максимальной группой G5. Решения типа D либо имеют форму
(10.8), и в этом случае они должны быть составлены из двух двумерных пространств одинаковой кривизны, либо имеют, самое большее, Gs. Из обычных рассуждений следует, что все такие пространства обладают просто-транзитивной Gi и G3, транзитивной иа гиперповерхностях. Они были получены и исследованы несколькими авторами [Cahen (1964); Ozsvath (1965b); Siklos (1978); Kaigorodov (1962)]. Перечень этих пространств можно представить следующим образом.
Единственная метрика типа N по Петрову имеет вид:
dsa =------- dz*-f- 10кеггdx2 -|- е_4г dy* — 10uezdzdx — ezdudx,
(10.33)
где 1P*=—kA иА<0; она имеет Gs.
Метрика D по Петрову имеет форму (10.8) и, как отмечалось выше, допускает группу G6: ЗЧ'г=—А.
Существует решение типа III по Петрову, а именно
dss =-L dz1/А -|- e*zdyt —(— 2е ~ ^dxt — 4 eiZdxdy —
— 8 eiZdzdy — 2 eiZdudy (10.34)
с Л<0. Однородных метрик типов I и II по Петрову с Л-членом не существует.
Так же можно получить однородные чисто радиационные решения. Метрики с G6 или G7 включают в себя плоские волны 7* 99
(10.7). Для решений с G7 имеем Л(и)=0, В(и)=Ьи2 или В=Ь, где b — константа. Они могут быть преобразованы к виду IPetrov (1966)]:
ds2=C2(u) (dx2-\-dy2)—2dudv,
С+2ВС=0, (10.35)
ср. с §21.5 и (13,18), (21.48).
Из (10.1) видно, что единственным другим чисто радиационным решением с Л-членом и группой G6 является (10.6). Все оставшиеся решения должны содержать G^ транзитивную на Насколько нам известно, они не были полностью перечислены.
