Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Число степеней свободы, т. е. число произвольных постоянных, требующихся в общем решении, исследовалось Шиклошем [Siklos (1976b) ] для каждого типа Бианки, ср. [MacCallum (1979b)]. I, II и VI/, при h=—1/9 типы Бианки (действующие на S3) оказываются специальными случаями, так как уравнения поля G4a не являются линейно-независимыми уравнениями связи для данных Коши.
105
Решение уравнений поля упрощается, есл* ga& в (11.22) мо ж выбрать в виде диагональной матрицы. Мак-Каллум и др. [Мас-Callum (1970)] показали, что если n = dt — собственный вектор
тензора Риччи, то в классе GtA, за исключением типов GaI и G3II, ga? диагональна, а в классе G3B, за исключением типа VIa при
h = — 1/9, вектор а“ в (8.50) является собственным вектором тензора да.р и тензора Риччи. В исключительных случаях требуются
дополнительные предположения для достижения такого вывода. К ним относятся только что обсуждавшиеся вопросы, связанные со степенями свободы. Для реалистической материи, заполняющей пространство, метрики класса G3B могут быть диагональными только тогда, когда они либо л. в. с., либо ла? в (8.50) удовлетворяет условию
«; = 0 (11.25)
[MacCallum (1972)]. Ограничение, вводимое соотношением (11.25), можно налагать только на I, III, V, VI и VII типы по Бианки, оно оказывается полезным для получения новых ограничений только на III и VI типы [Ellis, MacCallum (1969)]. С помощью (11.25) удобно привести каноническую форму генераторов группы к виду
[I=. Isl=O; II3. U=O -A)S3;
(11.26)
[Si, У=(1+Л)1„
где Л = — А*. Величины а>“, аналогичные представленным в табл. 8.2, имеют вид:
» сol=dx; о)2=e<A+1)*dy; сі)3=е<А-1)ЛЧ/г. (11.27)
Существует два стандартных направления решения систем дифференциальных уравнений, признанных плодотворными при качественном объяснении свойств решений этих уравнений. Лагранже-ва или гамильтонова формулировка (использующая только функции от t) пригодна, вообще говоря, только для класса G3A
[MacCallum, Taub (1972); Sneddon (1976)]; ее можно успешно использовать также и для метрик с /Iea=O. Этот формализм плохо приспособлен для поиска точных решений, однако он представляет возможность «регуляризации» уравнений, что в сочетании с методом фазовой плоскости дает второй подход, ведущий к большому числу новых точных решений [Collins (1971)].
Предложено несколько способов введения альтернативных систем переменных [ср. с (11.22) и (8.50)]. Один из наиболее широко используемых — это способ параметризации Мизнера [Misner (1968)], который можно записать в форме
5» ^e6x ^detfeag); ?aT = S’(exp2p)al> . (11.28)
106
где р — симметричная бес следовая матричная функция от Для диагональных можно записать
P.T = diag(p,. —JT + ^11-29)
Теперь к или 5 можно выбрать в качестве новой временной переменной.
Особенно простая ситуация возникает для метрик типа I по Бианки и таких метрик класса G3V, которые допускают dt в качестве собственного вектора тензора Риччи, относящегося к типу [(111), 1] и ассоциированного с идеальной жидкостью. Упрощение анализа связано с тем, что при таких предположениях уравнения поля дают:
= -Sol=O; (11.30а)
3Ss = 22S-4 + ;c0nS! + AS2 + 3E; (11.306)
Sn+ 35 (H-Ko)=O1 (П.ЗОв)
где 22* == а е = 0 для G3I и є = — 1 для G3V. Теперь можно
взять
^diagIsin а: sin(a+x); sin(a+^)} (1L3i)
В классе G3I можно положить E = j/З, тогда как в классе GiV
оставшегося уравнения поля следует а=0. Если мы сможем решить (П.ЗОв) для n(S), то, выбирая S как координату времени, мы сможем получить точное решение, определенное вплоть до квадратуры в (11.31). Это похоже на ситуацию, имеющую место для уравнений поля (11.1) и (11.2). Другой случай такого типа возникает для метрики (11.3) при е=—1, когда для тензора Риччи типа [(111), 1] уравнения поля приводятся к виду
Щ-+-%г+-ЕГ = Ь-К*Р> (11.32а)
4+4 + 44=Л - К°р' 1 -32б>
+ -II-+ -Jr = л + К#- (П -32в)
Для уравнения состояния (5.36) р=(у—1)ц с Y=Const решение этих уравнений сводится к серии квадратур; при k=0, уф2
107
получим [Stewart, Ellis (1968)]:
Л = (B3(2~T,/2+C),/(2-1,)B-I/2; t — j(B3(2-T)/2_(-C)(1I-I)/(2-T) B112CiB; (11.33)
XJP=XtPKl ~ 1) =3/(ЛВг)т,
где С — постоянная.
Совершенно иной подход, который ведет к точным решениям уравнений Эйнштейна — Максвелла, однородным на S3 или на Ts, следует из идеи, введенной Таригом и Таппером [Tarig, Tupper (1975)] и обобщенной Барнсом [Barnes (1978)]. Идея заключается в том, что для неизотропного электромагнитного поля
F*ab;clc=fF*ab; F*ab.ckc=gF*ab, (11.34)
где (m, m, I, к)—главная изотропная тетрада максвелловского бивектора. (11.34) влечет за собой равенства
k=v=n=т=0, (11.35а)
тогда как если fugs (11.34) равны нулю, то также
е=7=0. (11.356)
Существует двойственность в отношении этого подхода к векторам in и т, которая приводит соответственно к условиям
0=Л=р=ц=О; (11.36а)
а=р=0. (11.366)
Исследуя совместность оставшихся уравнений Эйнштейна — Максвелла, можно показать, что из (11,35а) следует возможность такого выбора тетрады, при котором
