Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
имеют вид [Ellis (1967)]:
Л>0, Yi =acos $w-{-bs'm$w-\-k/2A, / = 1, ] F= і A, A(a* + 6s) = /J + ft74A; J
Л-=0, Y* = kw*-\- 2aw -\-b; a‘ = P -{- kb, / = I;
(11.71)
(11.72)
Л<0, Y2=ae*w b<T*w + k<2A, Pi = -4Л, \ (11 73)
4Ла6 = /1+ ?*/4Л, / = 1. j
Решения класса II по Эллису входят в § 13.5. Решения класса I, описывающие пространства, содержащие идеальные жидкости и электромагнитные поля, получены с точностью до квадратур Стюартом и Эллисом [Stuart, Ellis (1968)]; единственные явные случаи с жидкостью содержат нереальные уравнения состояния, и поэтому мы их опускаем, за исключением (29.26).
Решения уравнений Эйнштейна с жидкостью вида (11.5), имеющие Г3-однородную часть, были качественно исследованы Коллинзом [Collins (1974)] и Шикиным [Shikin (1975)].
Примером решения с G31 на T3 может служить метрика (16.67) [Barnes (1972)].
Таблица 11.1. ГЬдгрушы G3 на V3, встречающиеся в решениях с кратно-транзитивными группами. Пространства постоянной кривизны (8.35) здесь опущены
Тип Максимальная группа
Бианки подгруппы а, G* ипи Ge на Va C5 или G1 ка Vt С« на Si С?4 S9 или TS (ч. в. с.) G1 иа Tа (не л. в. с.)
1 (10.23) (10.14) (10.29) — (10.31) § ИЛ, (12.2) (11.3), /г = 0 (11.16)
II — — — (11.4) и (11.7) (11.17)
III (10.8) — — (11.3), А: = —1 (11.4) и (11.8) (11.16), (11.17)
IV § Ю.2 (10.30) — — —
V — — § 11.1, 12.2 (11.5) (11.17)
VI § Ю.2 (10.8) (10.29) (10.33), (10.34) (11.16) (11.17)
VII § Ю.2 (10.29) (10.29) — (10.31) § 11.1, (12.2) (11.3), k = 0
VIII (10.8) (10.25) (10.27) — (10.28) (11.4) и (11.8) (11.17)
JX (10.23) (10.26) § 11.1, 12.2 (11.4) и (11.6) —
117
Таблица tl. 2. Решения с максимальной Ot на Vit приведенные
в этой книге
Метрика
Тензор энергии-импульса (11.11) (П.5) (11.19)
(П.З) (U.4) (11.16) (11.17)
Пыль (11.71)-(11.73); (12.10)-(12.14) (12.15) Ф Ф
Идеальная жидкость (12.10)-(12.14); (29.26) (12.17)— (12.19) (12.16)
Вакуум и поле Эйнштейна — Максвелла (с Л#0) (11.42) [включающая, например, (13.26)1 Аналог (11.42) [включающий (13.11), (13.32), (27.56)]
Таблиці 11.3. Решэния с максимальній Gi на Vt, приведенные
в этой книге
Тип Бваики Вакуум Д-член Попе Эйнштейна—Макс-веч л а Пы<1Ь Идеальная жидкость
I А: (11.50) (11.51)-(20.8) (18.23) (11.52) (11.60) — (П-62) (11.63) — (20.9) (20.11)., (20.12) Для St: А (12.20) Для S3: А (12.21), (12.22) (16.67), (29.19)
II Для St: А (11.53) — (11.67) — (11.69) (10.23) (11.74), (12.23) (12.24)
V Для S8M (11.57) — — — —
VIe (11.56) (11.59) — (11.64) (12.25) (12.25) (12.28)
VI (24.15) (11.45) (11.54), (11.55) (11.45), (11.47) — — (12.30), (12.32)
VlI0 (11.48), (11.59) — (11.65) — § 12.4
VII (11.58) — — — (12.28), (12.29)
Примечание. Буква А означает, что все решения известны.
118
При изучении пыли, удовлетворяющей условию бессдвиговости, Эллис [Ellis (1967)] нашел решение с G3II на T3:
ds2 = dx* + YiF- *dy2 + Y2Pdz2 - (dt -f 2YFaydz)2-,
F = exp (6 ^Y'*dx); a, b, с = Vat-\-b2 — постоянные;
Уг = ^pr=- sin2yrAx(A>0); Уг = 1 -)-2c.x (A=O); (11.74)
Уг=р^-5Ь2/ІЛ|х(Л<0).
11.5. Резюме по всем метрикам с G5 на Fs
Мы прилагаем здесь три таблицы (табл. 11.1—11.3), которые могут оказать читателю помощь в идентификации любых решений с Gr на V3. В табл. 11.1 дан перечень всех формул и разделов в книге, где можно найти линейные элементы с большими максимальными симметриями, табл. 11.2 содержит краткую сводку существующих решений с максимальной группой G* на K3 для каждого типа тензоров энергии-импульса, рассмотренных в этой книге. Табл. 11.3 дает аналогичный перечень решений с максимальной группой G3 на V3.
Глава 12
Пространственно-однородные космологические модели с идеальной жидкостью
12.1. Введение
В этой главе мы дадим решения уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса идеальной жидкости, допускающие группу изометрии, транзитивную на пространственно-подобных орбитах S3. Соответствующие метрики — это (11.22) и (11.3) при k=\.
Анализ этих метрик в качестве космологических моделей не входит в проблематику этой книги, и поэтому мы отсылаем читателя к стандартным учебникам, см., например, [McVittie (1956); Peebles (1971); Weinberg (1972)], посвященных главным образом метрикам Робертсона — Уокера, а также к обзору, цитированному в § 11.1. Представляют космологический интерес и пространства, содержащие жидкость вместе с магнитным полем. Точные решения, описывающие такие пространства, были получены например, в работах [Doroshkevich (1965); Shikin (1966); Thorne (1967); Jacobs (1969); Melvin (1975); Dunn, Tupper (1976); Ozsvath (1977)], детали, связанные с этими решениями, мы опускаем, но отметим, что они часто содержат, в качестве частных случаев, решения для жидкости без электромагнитного поля. Аналогично эти решения и решения для жидкости могут содержать в качестве
119
частных случаев вакуумные поля и поля Эйнштейна — Максвелла, рассмотренные в гл. 11,
Идеальные жидкости с объемной вязкостью были исследованы многими авторами (см., например, [Murphy (1973); Nightingale (1973)] и содержащиеся там ссылки), так как они дают решения без сингулярностей.
