Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 13.3. Решения для идеальной жидкости и пыли не могут допускать группу G3 на временно-подобных орбитах T2.
В координатной системе, соответствующей (13.2) (верхний знак), 4-скорость и идеальной жидкости имеет вид: и=и3д3-\-и*дА, и поэтому из инвариантности и по отношению к действию изометрий можно заключить, что компоненты и3, Ui не могут зависеть от X1 и X2. Таким образом, вектор и ортогонален к гиперповерхности, и существует преобразование координат х3 и х4, приводящее
u=e-vd4 (13.7)
(сопутствующие координаты) и одновременно сохраняющее форму метрики (13.2).
Cm.: [Goenner, Stachel (1970)].
13.3. Сферическая и плоская симметрии
Группа G3 на V2 содержит два частных случая, представляющих собой интерес для физики: сферическую и плоскую симметрии.
9* 13І
В первые четыре десятилетия исследований по общей теории относительности подавляющее большинство точных решений уравнений поля было получено в предположении сферической симметрии. Хорошо известными примерами этих решений являются внешняя и внутренняя метрики Шварцшильда и модель релятивистской космологии Фридмана.
Первоначально задачи со сферической и плоской симметрией формулировали более или менее интуитивно. В современной литературе отдается предпочтение теоретико-групповому подходу, в рамках которого сферической и плоской симметрии дается следующее инвариантное
Определение. Пространство-время Vi называется сферически-(плоско-)симметричным, если оно допускает группу движений Gs IX (G3VII0), действующую на пространственно-подобных 2-пространствах S2, и если неметрические поля наследуют такую же симметрию.
Каждая орбита S2 имеет постоянную положительную (нулевую) гауссову кривизну A=I (A=O). Группа изотропии Hi представляет собой пространственные вращения в пространстве, касательном к S2. В соответствии с теоремой 13.1 сферически- и плоско-симметричные пространства-времена относятся к типам D или 0 по Петрову.
В выражениях (13.6) для компонент тензора Эйнштейна следует выбрать верхние знаки и A=I (A=O). Приспосабливая метрику (13.2) к случаю сферической симметрии (A=I)1 получаем
ds* = Yi (dV -f Sina &У) + endr‘ - e2ydt2;
(13.8)
Y = Y (г, t)\ X=X (г, t); v = f»(r, t).
Для плоской симметрии (A=O) на орбитах можно использовать декартовы координаты:
ds! = Yt (dx2+dy1) + e2Vz* - e2vdt*;
(13.9)
Y =Y(г, t); X=I (г, t); v=v(z, f);
Ii= дх\ — Із — хду удх.
Общие решения, допускающие G3 на V2, известны для вакуумных и чисто радиационных полей, а также для пыли и полей Эйнштейна — Максвелла (см. § 13.4, 13.5). Некоторые плоско-симметричные решения для идеальной жидкости приведены в § 13.6. В гл. 14 дается обзор сферически-симметричных метрик для идеальной жидкости.
132
13.4. Вакуумные поля, поля Энштейна—Максвелла и чисто радиационные поля
Для вакуумных полей и полей Эйнштейна -—Максвелла (содержащих космологическую постоянную Л), а также для чисто радиационных полей тензор энергии-импульса имеет следующие алгебраические типы= [(111,1)], [(11) (1,1)] и [("11,2)], см. § 5.2.
Собственные значения А,; тензора Эйнштейна имеют вид:
I1=X2=G11=G22] (13.10)
а,..=4- (°'.+°4«) ±д,/2; А s 4 +(W-
Симметрия (Gз на У2) влечет за собой существование двойного собственного значения (Лі=Я,2) (ср. с теоремой 13.2). Для рассматриваемых алгебраических типов могут иметь место два двойных собственных значения (которые могут совпадать); равенство А,з=А,4 влечет за собой A=O.
13.4.1. Временно-подобные орбиты
Для временно-подобных орбит T2 из табл. 5.2 немедленно следует, что соответствующий тензор Риччи относится к алгебраическому типу [11, (1,1)]. Так как тип [I 1,(2)] невозможен, то может быть доказана
Теорема 13.4. Поля Эйнштейна — Максвелла с изотропным электромагнитным полем и чисто радиационные поля не могут допускать группу G3 на T2.
Для вакуумных и неизотропных полей Эйнштейна — Максвелла будем различать случаи У,аф0 и У,а = 0. Если У,а=0, то можно положить У=л:3 (канонические координаты), так как У,аУ’“>0 и вычисление выражений G3S=G4^ и С4з=0 для метрики (13.2) (нижние знаки) дают A/+v'=0 и А,=0, зависящий от х4 дополнительный член в V может быть обращен в нуль преобразованием координаты X4. Откуда следует V=—К, А,=0. В координатах, соответствующих метрике (13.2), общее решение уравнений Эйнштейна — Максвелла (содержащих Л) имеет вид:
Є2’=*-^-_^-ЛІ^>0; (13.11)
K=—v; Y=X3, m, е — постоянные, k=0, ±1.
Единственная отличная от нуля тетрадная компонента (неизотропного) тензора Максвелла определяется (с точностью до постоянного дуального поворота, см. § 5.4) из
1/V2 F,t = el(xy. (13.12)
Эти поля Эйнштейна — Максвелла типа D по Петрову относятся к кундтовскому классу (см. гл. 27).
133
При K=Ko=Const существует два двойных собственных значения
Xl=Xi=Kv X3=Xi = -ItY-2 , (13.13)
где Kx обозначает гауссову кривизну 2-пространств с метрикой
Cfoi1 = (е'Ыхг)г + (e’djc4)*, (13.14)
ортогональных орбитам T2-B этом случае есть только одно поле
Эйнштейна — Максвелла (для /Сх = йУ~2<0), а именно решение Бертотти — Робинсона (10.16).
