Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
2
A=Mln (_с)<ї-'>/<2-'> (у _ і)2 (з-2т>/эт (2-т) х Х|±а |2/3 (2_Т> (ch* - 1)1/(2-Т) [3(ch<j> +1)]-1/3 (2-т,; В = [А (Y_ і) а(сЬф- 1)]2/з(2-т>^ fl>0. В=[і-(ї-І)И(сЬф+1)]2/3(2_т), а<0
122
[Vajk, Eltgroth (1970)]. Л. в. с.-решения для 7=2 имеют вид: ds1 = - di' + tv0+2X) Лс, + г2Х/(1+2Х) [dy' + dz')
(12.11)
(2 + К) I
(1 + 21)4* ¦
Я >• 0 или X < — 2.
Для случаев k=±\ решения с 7=1, 4/3 и 2 можно дать в следующей параметрической форме.
Для 7=1
k = 1, ЛВ = -^[ф sinф —)— 2 (I —|— cos ф) + Я sin ф],
(12.12а)
В=b(IJ-)-cosф), dt=Bity, b, Е — постоянные; k — — I, AB = (ф sh ф — 2 (ch ф — I) + E sh ф),
(12.126)
В = &(сЬф—I), dt=Bdty, b, Е — постоянные.
Для у = 4/3
dt = Cdif, C = -^- h'ф [а (Ь sh ф + Зкс)~'12 + Ь~'12 (Ь sh ф - 66с)],
(12.13)
B = (b shф —З*с)3/4/2, а, Ь, с — постоянные,
А = а + Ь~* (Ь sh ф - 6kc) {Ь shф + 3kc)'12.
Для у = 2
dt =Cdif, C- = A =B-' (k (у* + by + с))1/2 ,
В = а |</*+ by + c|I/2 exp g ^_Ji±A__)],
(12.14)
g(x) =thh_1Jc(fe= I), g(*) = cth—1JC(* = — I).
Решения (12.12) были найдены в работах [Doroshkevich (1965); Kantowski, Sachs (1966); Thorne (1967); Шикин- (1966)]. Решения (12.12) — (12.14) получены Кантовским, а (12.126) и (12.13) Ком-панейцем и Черновым (1964), найден специальный случай с B=t в (12.126) [Ftaclas, Cohen (1979)]; цитированная здесь форма этих решений дана Вайком и Элтгросом [Vajk, Eltgroth (1970)].
123
С качественной точки зрения свойства метрики (11.3) изучались Коллинзом [Collins (1971), (1977)].
Уравнения поля для метрики (11.5) были проинтегрированы для случая пыли Фансвордом [Farnsworth (1967)]. Решение имеет форму:
Cfs2=Os (g' — g)2 dx1 + (ge _ *)* (dy* -)- dz*) — dt*;
(12.15)
g = g(t + bx); X0H- = - 6 (g - 4- AI (g — bg);
2gg + g1 — Agt — Ifat =0; а, Ь, — постоянные.
Фансворд также дал как частный случай решение Толмена — Бонди (ср. с § 13.5). Найдено решение с 7=2 [Maartens, NeI (1978); Wainwright е. а. (1979)]; оно имеет вид:
В2=а sh2|+&ch2|; а, Ь, с, d — постоянные;
Л=сЯ2ехр(—d /В-Vi), /= J Adt (12.16)
Общий анализ поведения метрики (11.5) для различных у был проведен Коллинзом [Collins (1974)] и Шикиным'[Shikin (1975)].
Уравнения поля для л. в. с.-метрик с G3II (11.4) при k=0, описывающих пространства с идеальной жидкостью, были сведены Мартенсом и Нэлом [Maartens, Nel (1978)] к ряду квадратур и дифференциальному уравнению второго порядка:
А = ац1/т exp [2 J }і,(2“т)/т (т) - т)„) di|];
В = Ь\Г1пехр [— j (а(2_7)/Т (I — \) d7l]; (12.17)
T1 = [(2 - у) d2 (3_т) J1/2 J (ABt)1^dt;
№" _ ± _ 8 (, - ті.) ц2/т — 6Т (т, — Pin +
+ IY - Y (Y +2)/2(2 - у) d2 (3“Т)] ,*(2+1,)я = 0
ДЛЯ 7^2. Несколько решений в явном виде были получены Коллинзом (1971); они возникают не из л. в. с.-решений, с G3 II, приведенных в следующем параграфе. Аналогично решения с 7=2 можно получить из общего решения для G3 И, также записанного в следующем параграфе.
Метрика (11.4) с k=\ приводит к нескольким решениям с идеальной жидкостью, не удовлетворяющим (5.36) [Collins е. а. (1980)]. В случае k=—1 это решение можно записать в виде
dsa = Л8 ^shle Є J —СІЄ* -[- -і- (df/a H-Sha ?/d2*) ] +
+ l-sh,e(Ac + chjwfc),)> (12.18)
где k — произвольная постоянная. (12.18) получено (в другой форме) с помощью комплексификации координат в стационарном ак-
124
сиально-симметричном решении. Нормаль п к гиперповерхности имеет следующие свойства: 0 и а (определенные в § 6.1) пропорциональны, a Gab имеет два одинаковых собственных значения. Коллинз и др. (1980) использовали эти свойства (12.18) в качестве требований, необходимых для получения новых решений в других случаях метрики (11.4), а также для получения метрик VIo и II типов по Бианки без вращательной симметрии.
Решения, описывающие пространства с материей и магнитным полем, были получены в работах [Batakis, Cohen (1972); Soares, Assad (1978)], найдено решение с у=2 [Maartens, Nel (1978)] и с магнитным полем [Ruban (1978)]; имеем
Так как Gз появляется как подгруппа группы большой симметрии, мы еще раз сошлемся на § 10.4, 11.1 и 12.2, 12.3. Теперь приведем другие известные решения, и прежде всего те, которые удовлетворяют уравнению состояния р=(у—1)ц.
Наиболее просто разрешается случай с G31. Якобс [Jacobs
(1968)] дал подробный перечень таких решений. Для пыли с A= =0 имеем [Saunders (1967)]
где F=exp (J S^dt) и выполняется (11.52Ь). При Af=O (12.20) дает (11.52). Случай A=O был дан ранее [Robinson (1961);
125
(12.19)
eh"1 -j у (т)-(- т]0), k = l;
= ехр (—4“ Y H-Ho)), 6=0;
sh"1 Th + 7)*)- k=— I.
Случай с k=l получен также Бэроу [Barrow (1978)].
12.4. Решения с G3 на S3
А>0, Ss =а .shorf-t- (chatf — I), SjF = Chco/- I;
(12.20)
А<0, S3 =а sinatf-f- (cos Ы — 1), S3F = (1 — cos u>t),
Raychaudhuri (1958)]. JI. в. с.-случай [а=0; я/2 в (11.32)] был несколько раз открыт заново.
Решения с 7=2 имеют вид:
Л>0, S'= 1/(3+ Л<)/Ashorf, F = (thо)//2)6, (12.21а)
A = O1 S'= 1/3(3+ Af) t; F = l’\ (12.216
