Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Л<0, S' = K(3 + Al)/|A|sin«rf, F = (tg«rf/2)6, (12.21в)
6 = Vr 3/(3+ Al).
Якобс переформулировал задачу посредством
і , з. f / у-/Sg ,1/"-2)
(12.22)
и смог проинтегрировать эти уравнения для 7=4/3, 7=1+п/(п+ + 1) и 7=1 + (2п+1)/(2п+3) с целым п. Решения для комбинаций жидкостей с 7=1, 4/3, 5/3 и 2 можно выразить через эллиптические функции [Ellis, MacCallum (1969); Jacobs (1968)].
Полученные Якобсом [Jacobs (1969)] решения с электромагнитными полями можно использовать для разрешения случая с (ЗзН [Collins (1972)]. Коллинз нашел частное решение с G3II, которое при использовании (11.28) и (11.29) можно записать в виде
P1 = -T (2-Зт) А;
о __ ГГ3 <2 + ї)(Ю-Зу)?^(2-т)Х Y12fil.
ft—J [І6 l+?*e3<2-T>* J а '
C 4 /*«* + ? Vх VI».. м Q-Y
Х— J 3 \(2 — я) {3Y — 2)/ dt' М— (2 — y) (3y — 2) Обшее ненаклонное решение с GjII и у =2
ds*=А* (—dt* + dx*) -\-t(B (dy + 2nbxdr)* + р" ldr*);
a* + “ я*—я
A*=t 2 (1 +«“), B = tn-'(l +b*t*ny
(12.23)
(12.24)
приведено в форме, восходящей к работе [Wainright е. а. (1979)]. Наклонные решения с G3II и 7=2 были сведены к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения, определяющего, после квадратур, трансцендент Пенлеве [Maartens, Nel
(1978)]. Частный случай соотношений (12.23) был проинтегриро-
126
ван [Ruban (1978)], а (12.24) исследовал также [Send (1972)] Класс пространств-времен с идеальной жидкостью и G3 VIo, был найден на основе обобщения метрики (11.64) [Dunn, Tupper (1976)]. Этот класс описывается линейным элементом
ds2=—dt2+ (m—n)~2t2dx2+
+ t-2<m+nHe-2xdi/2 + e2xdz 2), (12.25)
где тип — постоянные. Имеют место соотношения
х0р=4 (т2-\-тп-\-п2) jt2, х0р=—Amnjt2, (12.26) 2m2+2rt2+m+rt=0,
которые содержат решения для пыли [Ellis, MacCallum (1969) ] _
Метрика (12.25) фактически идентична решению с G3VIo и плл =
=O [Collins (1971)], а также решению для пыли [Evans (1978)].
Вакуумное- решение (11.56) можно использовать для построения метрики, удовлетворяющей уравнению состояния р=ц [Wain-right е. а. (1979)]:
dst=At (-dt1 + dx') +1 (Bdyt -І- В - Wzs);
“* + ~7Г (OT1-I) / ' 1 \
B=tmetnx, A* = t 2 exp (л1 +-і- PiJt1; (12.27)
пт = ар.
Это решение при р =7^=0 является наклонным. Наклонный случай
представляет собой решение с G3VI, (я“=0) [Ellis, MacCallum
(1969)].
Для VIIh типа по Бианки существует решение, соответствующее уравнению состояния р=р. Оно получено [Wainright е. а.
(1979)] из вакуумного решения (11.58) заменой /4(|) на
At=Ut(sh2If+?-*" (th ?)2-эехр (12.28)
Л на l/т2 и Ф на с—2/га|.
Требуется, чтобы
тг --^- + 2 (а'-р*)=^. (12.29)
Если Р?=0, то это наклонное решение; ненаклонный случай найден Бэрроу [Barrow (1978)].
Для типа V по Бианки решение уравнений (11.30) можно дать при 7=2 или 4/3 через эллиптические функции.
Единственные известные нам другие решения с G3 на S3 для идеальной жидкости с уравнением состояния (5.36) являются частными случаями метрик типа VI/, по классификации Бианки. Коллинз (1971) нашел частные решения с /Icta=O, которые можно
127
<с помощью (11.27) привести к форме
ds*=аН* К)*+ tb+c (О)*)* + (О)*)* - л*;
(12.30)
Коллинз также получил решения для Gj VIa (я“=0) с 4 = (1 —
— ЗА)(Зу —2). Используя (11.27) и (11.29), оно может быть представлено в виде:
где E и F — константы; (12.31) обобщает радиационное решение (12.13).
Уэйнрайт и др. (1979) использовали вакуумное решение (11.54) для построения решения с G3VI и v=2, которое имеет аналогичную форму, но с измененными степенями thu в Y2 и Z2, а также с т, замененными на —т, и измененным X2 на
Это решение при $ф0 будет наклонным; наклонный случай найден Рубаном [-Ruban (1978)] и, в другой форме, Коллинзом [Collins (1971)]. Они содержат (12.16) и решения с G3III.
Решений для жидкости, не удовлетворяющей уравнению состояния (5.36), относительно мало. Для л. в. с.-метрик (11.3) с O3I и &=0 обсуждались следующие случаи:
S = VT [Singh К. P.,Singh D. N. (1968)]; B = t [Singh К., Abdussattar (1974)]; B=Sh2/3 (at) [Horsky, Novotny (1972)]; B=W3 [Patel, Vaidya (1969)]; B=T, bTea/TdT=dt [Singh K., Abdussattar (1973)].
Другим известным нам случаем является решение с GaVIIo1 полученное Демянским и Грищуком [Demianski, Grishcuk (1972)], вплоть до дифференциального уравнения при условии, что орби^ тами группы являются плоские трехмерные пространства. Эта модель наклонна, а вещество обладает отличными от нуля вращением, сдвигом и растяжением. Все остальные метрики этого параграфа содержат невращающуюся жидкость.
(12.31)
Xі = (sh 2«)в,+8‘+ <т?+я,-1) /2 (th и)тп+2*\
(12.32)
Zzrt2 = -I, т* — п* — 3-\-2 (а* — р*) =0.
Глава 13
Группы (7з с неизотопными орбитами V2. Сферическая и плоская симметрии
13.1. Метрика. Векторы Киллинга и тензор Риччи
Риманово пространство V4, допускающее группу Gr r=q(q+ + 1)/2, является пространством постоянной кривизны (см. § 8.5). Таким образом, орбиты V2 группы движений G3 должны иметь постоянную гауссову кривизну К, и 2-метрику do2 пространственноподобной (S2) и временно-подобной (T2) орбит можно записать в форме (8.41):
