Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
р=ец; а=ек; е=еу; а=р=0;
W0=yV4; yVl =W3=O1 (11.37)
и, кроме того, для любой величины X из формализма Ньюмена —
Пенроуза _
8x=8x=(D-\-eA)x=0, (11.38)
где е=±1. Похожие условия, возникающие из (11.366), имеют вид:
т=л; а=р; k=ev; 4^=6?%; e=v=0; (11.39)
Dx=Ax= (6+6) jc=0. (11.40)
Уравнения (11.38) и (11.40) показывают, что группа изометрия действует на гиперповерхностях, натянутых соответственно на (ш, ш, 1+ек) и (к, I, m+m). Фактически все решения допускают 108
Gз на 5з или на T3; обширный перечень был дан Барнсом [Barnes (1978)].
Уравнения (11.38) и (11.40) аналогичны отправной точке трактовки Шиклошем [Siklos (1978)] алгебраически специальных однородных на гиперповерхности пространств-времен, в которых нормали п к гиперповерхностям однородности можно записать как
]/^2п = е-71 к -)- е4!. Однородность влечет за собой
Sx =Лх = ^-2riD-A) X=^Q. (11.41)
Применение коммутаторов (7.55) — (7.58) к t дает соотношения между спиновыми коэффициентами, а предположение, что к является кратным главным изотропным направлением, приводит к X=CJ=O. Оставшуюся свободу в выборе тетрады можно использовать для того, чтобы получить є=0. Тогда уравнения поля можно проинтегрировать для каждого возможного случая.
Представляется вероятным, что каждый из приведенных выше подходов можно обобщить.
11.3. Решения в вакууме, решения с A-членом и решения с электромагнитным полем
11.3.1. Решения с кратно-транзитивными группами
Случай Ge на V3 исчерпывается линейным элементом Робертсона— Уокера (10.9). He существует никаких полей Эйнштейна — Максвелла. Вакуумные решения и решения с A-членом представляют собой пространства постоянной кривизны (8.35); при различных вариантах выбора гиперповерхности появляются решения с А>0 для каждого е и с A=O для е=0 и е=—1.
Линейные элементы, допускающие G4 на S3 или на T3, но не содержащие изотропных вращений в качестве группы изотропии, разрешают присутствие только неизотропных электромагнитных полей с главными изотропными направлениями, параллельными главным изотропным направлениям тензора Вейля, относящегося к типу D по Петрову. Предполагается, что тензор Максвелла этих полей обладает той же симметрией, что и пространство-время.
В соответствии с теоремой 11.1 рассмотрим метрики (11.5), (11.11) и (11.19).
Для метрики (11.5) условие /?і4=0 дает только решения Робертсона — Уокера.
Для метрик (11.11) и (11.19) решения с постоянным значением У совпадают с решением Бертотти — Робинсона и его обобщением на случай с А.фО (ср. с § 10.3 и 10.5). Если значение Y в (11.11) не постоянно, то общее решение имеет вид:
/(tu) = (r«*-{-/*)_1 — I2) — 2mw-\- еш — Aw^- -{-
+ 2/?- Г = ю* + /* (11.42)
109
[Kahen, Defrise (1968)]. Такое же решение, но с измененными знаками при е2 и Л-члене соответствует метрике (11.19). Эти решения содержат большое число хорошо известных и часто рассматриваемых частных.случаев, например метрики Шварцшильда и Райснера — Нордстрема (см. § 13.4), плоско-симметричные космологические модели (см. § 13.6) и метрики Tay б а — НУТ [см. также метрики (13.11), (13.26), (20.10) и (27.56)}.
Решения (11.42) обладают расширяющимися главными изотропными конгруэнциями тензора Вейля. Для I=0=е=А получаются «.А-метриками» из табл. 16.2. Вакуумные решения с ІФ0 — это метрики Тауба — НУТ [Taub (1951); Newman е. а. (1963)]; для k=\ существует метрика
ds2=(^+/2) (d^+sin^dq)2) —
—f(r) (dt+2l cos 0dq>) 2+f-‘ (r) dr2 (11.43)
/(0 = (/"2+/2)-1^—2mr—/2) (m, I — постоянные), которая имеет векторы Киллинга (см. табл. 8.2):
I1 = sin cos <р (ctg Ьд9 + 2дХ
(11.44)
I, = cos - sin <р (ctg Wtf + 21 df j;
I3=^p; I,=*?.
Метрики Тауба — НУТ стационарны в области f(w)<0 (см. § 18.3) и пространственно-однородны в области f(w)>0. Два решения образуют часть одного многообразия, будучи соединенными через изотропную гиперповерхность; это многообразие имеет интересные топологические свойства, см. [Misner, Taub (1968); Ryan, Shepley (1975); Siklos (1976а)]. «Заряженное» обобщение метрики Тауба [Л=1, Л=0феї в (11.42)] впервые дано Бриллом [Brill (1964)].
Вакуумные решения для (11.19) имеют, нерасширяющиеся главные изотропные конгруэнции тензора Вейля и относятся к типу D по Петрову [Kinnersley (1969b), (1975)]; таким образом, они принадлежат кундтовскому классу (см. гл. 27). При I=0 эти решения дают «fi-метрики» из табл. 16.2.
11.3.2. Пространства Эйнштейна с G3 на F3
Многие из приведенных выше решений можно рассматривать заново как решения с G3 на V3, а именно: плоские волны (см.
§ 10.2) с G3IV, G3VIh или G3VIU; однородное решение типа N по Петрову с Лт?0 (10.33) и решение типа III по Петрову (10.34), принадлежащие оба к кундтовскому классу (см. гл. 27) и допускающие G3VU при A=—1/9; решения (11.42), которые в различных случаях могут допускать G3 типов I, II, III, VIII или IX (см.
§ 11.1); решения, подобные метрике Бертотти — Робинсона (10.8),
HO
с G3 типов VIII, VI0, VI/, и III (в неплоских случаях); и решение Петрова (10.14) с G3 I и G3 VIIft на T3.
