Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1948)].
В некоторых случаях были получены решения с простыми уравнениями состояния, например для nH-3/>=const [Whittaker (1968)]; ц=3р [Klein_ (1947)]; p=n+const [Buchdahl, Land (1968)] и \L=(\+a)Yp—ap [Buchdahl (1967)]. Ни одно изэтих уравнений состояния не является достаточно реалистическим. Однако если взять, например, политропные жидкие сферы с р= =ац1+1/п [Klein (1953); Tupper (1964); Buchdahl (1964)] или смесь идеального газа и излучения [Suhonen (1968)], то придется использовать численные методы.
142
Известно еще несколько классов явных решений для идеальной жидкости (табл. 14.1), но большинство из них лишено физического смысла. Приведем основные предположения, сделанные по поводу некоторых из этих решений, и укажем источники нахождения дополнительных подробностей. Решения могут иметь сингулярность в точке г=О, но могут быть использованы для внешних областей составных сфер.
Таблица 14.1. Некоторые статические сферически-симметричные решения для идеальной жидкости
\i.:arb [Wyman (1948); Kuchowiez (1966)]
a (I — Ьг2) [Mehra (1966); Kuchowiez (1967)]
е~2г:а + br2aIm-, а- 1 = 4т — 2 — т2 [Tulrmn (1939); Wyman (1948)]
агь\ а — 2 Inr [Ku.howiez (1968)]
а + Ьгг\ а + Ьг-т [l-u-'howiez v 1968)]
(I +ar*i;( 1 +сг2) [Bu:hdahl (Н5Э)]
е2,:(лг1_|1 — Ьг] + У [Tolman (1939); hujh^wiez (1970)]
а + Ьг2 [Tolman (1939)]
а (г + Ь)2 ,агь, а еҐ* [Kuchowiez (1968)]
ar2ebr [Kuchowiez (1970)]
Некоторые решения принимают наиболее простую форму в изотропных координатах (14.13), см., например, [Nariai (1950); Kuchowiez (1972); Bayin (1978); Buchdahl (1964)]. В этих координатах условие изотропии принимает простую форму [Kustaan-heimo, Qvist (1948)]:
LG" — 2L"G; L = ех, G = Lev. (14.15)
14.2. Нестатические решения
14.2.1. Основные уравнения
При работе с зависящими от времени сферически-симметрич-ными решениями для идеальной жидкости большинство авторов предпочитают сопутствующую систему отсчета
ds2 = Y2 (г, t) dQ2 + е2Х (г’ " dr2 - е2> (г> 0 dt2; (14.16)
и1 = (0, 0, 0, e_v).
В этой координатной системе уравнения поля имеют вид (ср. теорему 13.6):
xoIx = 1L е-2Х (y" - + +
+ -f e'2v (/* + -?-); (14.17а)
341
W=--уг+ J- е-2Х (w + — -2- e-2v (у — У V + ;
(14,176)
K0pY = e2X [(v"-(-v'2-v'X')y+ Г'+У'у'-У'А']-
— e_2v [(Я —(— Я2 — Av) У-(-У-(-УЯ — У v)]; (I 4.17в)
O=Y1-Yv1-YrX. (14.17г)
Два простых соотношения
р' = - (n + /7) V'; ц = -(ц + /7)і(І + 2У/У) (14.18)
являются следствиями равенства Tabl^=O.
Как и все решения для идеальной жидкости, сферически-сим-метричные решения можно классифицировать по своим кинематическим свойствам, т. е. по вращению, ускорению, растяжению и сдвигу, построенным на основе 4-скоростей жидкости (ср. с § 6.1). Сферическая симметрия требует выполнения условия (Oab=O, Откуда следует, что поле 4-скорости ортогонально к гиперповерхности. Другие интересующие нас кинематические характеристики в системе координат, ассоциированной с метрикой (14.16), имеют вид:
щ =(0, 0, V', 0); e = e“v(jl + 2У/У);
(14.19)
°\=s2s=-4'*,» = Te_V Pt*-V-
В большинстве известных решений сдвиг равен нулю. В этом случіе из (14.19) следует соотношение YjY=Xr которое после интегрирования дает Y=exg(r). Поэтому после преобразования координат г = г (г) метрику (14.16) можно привести к форме
ds2 = е2Х (r- 0 (r*dQ* + dr*) - e2v (r- 0 dt1. (14.20)
Иными словами, мы можем ввести координатную систему, являющуюся одновременно и сопутствующей, и изотропной. В (14.20) радиальная координата г определена с точностью до преобразования
?=\/г; e2^=e2V. (14.21)
Если сдвиг не равен нулю, то изотропные координаты, тем не менее, снова могут быть введены, но они уже не смогут быть сопутствующими [и уравнения (14.17) больше не будут выполняться].
14.2.2. Решения без сдвига и растяжения
В силу (14.19) обращение в нуль сдвига и растяжения влечет за собой І=У=0; v — единственная метрическая функция, которая может зависеть от t. Так как v входит в уравнения поля
(14.17) только как коэффициент при У и Я, а v вообще отсутст-144
вует, то уравнения поля не содержат производных по времени. Они похожи на уравнения для статического случая и в канонических координатах задаются выражениями (14.2). Эти уравнения показывают, что плотность энергии ц — функция только от г, в то время как давление р может зависеть от t, если от этой переменной зависит v'.
Рассматриваемые решения либо статические (все статические решения бессдвиговые и не имеют растяжения), либо могут быть из них получены следующим образом. Возьмем любое статическое решение
ds2 = r2dQs + e2X (r) dr2 - e2vd/2 (14.22)
и заменим v (г) на общее, зависящее от времени решение v(r, t) условия изотропии (14.4). Вводя N=Qv, это условие можно записать в виде
N"-N’(l + X'/r)-\-N(e2X - 1 -гЯ')/г2 = 0; N = , (14.23)
где Х(г) берется из (14.22). Это линейное дифференциальное уравнение для N с коэффициентами, не зависящими от t. Его общее решение можно представить в форме
e' = N = f, (t) N1 {г) + ft (t) Ni (г), (14.24)
