Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
fі и f2— свободные функции; Ni и N2 — два любых линейно-независимых решения уравнения (14.23). Уравнения (14.22) и (14.24) дают все нестатические решения с равными нулю растяжением и сдвигом [Kustaanheimo, Qvist (1948); Leibovitz (1971)].
14.2.3. Бессдвиговые решения с растяжением
Уравнения поля и первые интегралы. Из (14.19) следует, что при оаЭ = 0, а 9^0 значение Я должно быть отлично от нуля.
Интегрируя уравнение поля (14.17) или, что тоже, уравнение Я' =
= Av' (У можно считать равным гех), получаем
V =In Я (14.25)
Теперь метрика принимает форму
ds2 = е2Х (г’ 0 (rW + dr2) - i*e~2f {t) dt\ (14.26)
а растяжение определяется выражением @(t)=3eW\ Оставшиеся уравнения поля можно записать в виде
и0ц = 3е2/ - е-2Х (2Я'' + Я'! +4Я'/г); (14.27а)
х0/7Я = е-ЗХ dt [ех (Я'2 + 21'Ir) - e3X+2f]; (14.276)
каРХ =е“зх Ot [ех(1 " + Я'/г) - езх+2']. (14.27b)
Исключение р из (14.276, в) дает условие изотропии
ех(Я" -X’ *-X'/г) =-F (г), (14.28)
10—99 145
где F (г)—произвольная функция интегрирования [Wyman (1946), Narlikar (1947); Kustaanheimo, Qvist (1948)].
Введение величин
L = е-Х; х = г2; ?(A:) = 4jc2F(r) (14.29)
преобразует (14.28) к виду
Lixx=L2F(X) (14.30)
[Kustaanheimo, Qvist (1948)], где L2 пропорционально инварианту тензора Вейля [Glass (1979)]. Для получения метрики нужно задать f(t) (что фиксирует координату t) и F (г2)., а затем найти решение L (г2, t) уравнения (14.30), которое в общем случае может содержать две произвольные функции времени. Тогда плотность энергии и давление можно вычислить из (14.27).
Иная форма уравнений поля была дана Мак-Витти [McVittie
(1967)] для метрических коэффициентов, удовлетворяющих соотношениям
ex<r- f)=:p(r)S(t) е^г); г = In[Q(r)/5(г)[; (14.31)
e_f = S/S.
Общий класс решений. Довольно большой класс решений уравнения (14.30) получен Кустанхеймо и Квистом. Они выбрали
F (х) = (ax2+2bx+c) -5'2. (14.32)
Неожиданное появление степени —5/2 может стать понятным,
если обратить внимание на то, что уравнение (14.30) должно быть инвариантным по отношению к преобразованию координат (14.21), что, в свою очередь, влечет за собой закон преобразования
T=F (X-') х\
Уравнение (14.30) с РФ0 и (14.32) ведут к
(ax*-\-2bx-\-c) 2и,хх+2 (ах+6) (ах2-\-2Ьх-\-с) ы,*+
+ (ас—b2) U=U2, (14.33)
u = L(ax2+2bx+c)-1'2. (14.34)
Интегрируя эти уравнения, получаем
и
P________________du______________
|/ -и* + (Ьг — ас) иг -)- A (t)
= $ а»-+?»» + . ¦ +iW- 04-35)
Функция и=и(х)=и(г2) (которую можно выразить через эллиптические функции) дает через посредство (14.34) величину e~x=L. Тогда, выбирая f (t), можно полностью рассчитать метри-146
ку (14.26). Для F=О (14.30) дает
е-Х = L = A (t) г*В (t).
(14.36)
Среди решений (14.35), (14.36) содержится несколько либо известных ранее, либо позднее открытых заново, ср. [Wagh (1955); Wyman (1978)] и ссылки, приведенные в [Chakravarty (1976)]. Насколько известно авторам, все подробно исследованные бессдви-говые жидкости, содержатся в классе (14.32). В табл. 14.2 приведен перечень нескольких интересных частных случаев, соответствующих специальному выбору функций A(t), B(t) и (или) действительных постоянных а, Ъ и с. Мы обсудим эти частные случаи в следующих параграфах.
Таблица 14.2. Некоторые частные случаи решений класса F={ax2 + 2bx + c)~512 [ср. (14.35), (14.36)]
Тип решения F А. В
Решение Мак-Вигти [McVittie (1933)] Ix U + 4R*)|-5/2 A=O
(26Х)—5/2 ь ф о GA = b (3e2f — x0fi)
[Kustaanheimo (1947)] 0 12Л6 = Зе2+ — xoti
Уравнение состояния P = К- (0 0 В = є>4, є = 0, +1
P Ы (Фридман)
[Wyman (1946)] 1 А = const, В = t е-2/= —Ш
Случай A (/)=0. При Л (/)=0, аф0, ас—Ъ2Ф0, используя обозначения
ах2+2Ьх+с=а(х—Xi) (х—х2),
В{t)=2\n С(t)/O(X1-X2), (14.37)
получаем из (14.35) решение
е-х „ О = _з_ ^ (г, _ ^ с {t) J, _ у r^_ C{t)y
(14.38)
[Kustaanheimo, Qvist (1948)]. При *1=0 и X2=R2 оно содержит метрику Мак-Витти
/ Г2 \1/21«
> + Ж
V —-—L ег (') (rfdQ* + dr*) -
т
[1+ 2ге*<'>'2
ds =------------
[
[I + гг/$Я.г\г
m f тг \ 1/2 (1+ 4 R1 )
2ге«<'>/2
m
Г У/2
1+ 2re*<'>/2
dt.
(14.39)
10*
147,
При A (t) =O и а=0 получаем решение
ds2=S2(t) (l+h)*{r*dQa+dr*) — (l—h)*(l+h)-*dP, (14.40)
A=S-1 (<) (от8 + ?)"1'*,
найденное Нариаи [Nariai (1967)].
Решения с однородным распределением материи. Если предположить, что материя распределена однородно, т. е. ц=ц(0, то следует рассмотреть два уравнения поля (14.27а) и (14.28), которые теперь примут вид
е-2х до, + я,, _|_ 4x,[r)=3e2f «> _ ^ {t) _с (К. 4, )
ех(Я''-Я'*-Я7г) = -F (г). (14.42)
Дифференцируя первое уравнение по г и исключая с помощью второго уравнения X" и получаем 3/+rF'=0, т. е. в силу
(14.29)
F (х) = (2Ьх)-*/2. (14.43)
Для того чтобы удовлетворить уравнению (14.41), требующему, чтобы левая часть зависела только от t, следует подходящим образом выбрать A(t) и В (t) в общей формуле (14.35). Окончательный результат можно сформулировать следующим образом: все бессдвиговые сферически-симметричные решения с растяжением для идеальной жидкости с плотностью энергии ц, зависящей только от t, имеют вид:
