Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
13.4.2. Пространственно-подобные орбиты
Для пространственно-подобных орбит S2 условия У,оУ-а>0 и равенство А,з=А,4 означают, что
Д =O^ д (е'+х)/дг + д (en)!dt =0 (13.15)
(Y=x3=г, x* = t) [Plebanski, Stachel (1968); Goenner, Stachel (1970)]. Тогда, введя в соответствии с равенствами
ev+x =du/dt; е2Х = - ди/дг (13.16)
изотропную координату и, можно преобразовать линейный эле-
мент (13.2) (верхние знаки) к более простой форме
ds2=r2da2—2dudr—2H (и, r)du2, (13.17)
da2, как в (13.1). Для рассматриваемых типов тензора Риччи можно полностью определить соответствующие метрики. Результаты приведены в табл. 13.1..
Таблица 13.1. Вакуумные решения, решения уравнений Эйнштейна — Максвелла и чисто радиационные решения с Oi на S1 (Y,a Y>a >0)
Тип Cerpe 2 H (г. г) Решения для k = I Л .тература
[(П1, 1)] , 2« 1 . k — — 5 Ar2 г 3 Л =0 Л ф 0 [Schwarzchild (1916а)] (Kottler (1918)]
1(11)(1. 1)] 2т ег 1 к-— +7г-1Лл*Л = 0 Л =0 [Relssner (1916)] [Nordstrom (1918)]
К". 2)] 2т (и) 1 - зА(я)г* Л (и) = 0 [Valdya (1951)]
В системе координат, соответствующей метрике (13.2), решения уравнений Эйнштейна — Максвелла (содержащих Л) отличаются от подобных решений (13.11) — (13.12) для временно-подоб-134
ных орбит только знаком (е2->—е2 в выражении для е2^) (см. § И.З).
Предположение У,аУ'“>0 позволяет выбрать Y=Xi. В случае У,оУ’“<0 аналогичные рассуждения с Y=X3 снова приводят к этому решению, но теперь х3=г и x4=t меняются местами, a (k—2m/t+e2/t2—Ai2/3)<0. Случаи У,аУ“>0 и У,аУ,а<0 соответствуют R- и 7-областям одних и тех же решений. Существует дополнительный временно-подобный или пространственно-подобный вектор Киллинга %=dt (соответственно E=Or), который ортогонален к гиперповерхности и коммутирует с тремя генераторами группы Gз на V2.
Случай пространственно-подобных орбит с У,оУа=0 следует рассматривать отдельно [Foyster, McIntosh (1972)]. Анализ желательно начинать в координатной системе, соответствующей метрике (13.3). Оказывается, что вакуумных решений не существует (для A=^O см. [Nariai (1951)], а единственные решения уравнений Эйнштейна — Максвелла — это метрики Бертотти — Робинсона (y=const) и специальная рр-волна (см. § 21.5 и 10.5):
ds2=Y2{u) (dx2-\-dy2)—cIdudv (13.18)
(описывающая при У,ии=0 плоское пространство).
13.4.3. Обобщенная теорема Биркгоффа
Из полученных до сих пор в этом параграфе результатов следует, что все решения уравнений Эйнштейна — Максвелла (содержащих Л-член), допускающие группу G3 на V2, имеют (как минимум) один дополнительный вектор Киллинга.
Теорема 13.5 [Cahen, Debever (1965); Barnes (1973b); Goenner (1970)]. Метрики с группой движений G3 на неизотропных орбитах V2 и с тензорами Риччи типов [(I 1), 1,1)] и [(I I I), 1)] допускают группу G4, обязанную тому, что У,оУа=й=0.
Очевидно, что эта теорема обобщает теорему Биркгоффа [Birkhoff (1923)]: единственным вакуумным решением со сферической симметрией является метрика Шварцшильда *
ds2 = r2 (dft2 -I- sin2 М(р2) + (I—2 m/r)~'dr2—(I—2 mjr)dt2.
(13.19)
Отметим, что дополнительный вектор Киллинга l=dt в решении Шварцшильда — это пространственно-подобный вектор в T-области (r<2m). Оригинальная формулировка теоремы Биркгоффа (единственное вакуумное решение со сферической симметрией — статическое) критиковалась Петровым [Petrov (1963b,с)]. Вклад Петрова в анализ теоремы Биркгоффа обсуждался в работах [Bergmann е. а. (1965); Hamoui (1969)].
* Координатная система, в которой здесь записана метрика Шварцшильда, в отечественной литературе часто называется координатами кривизны. — Примеч. ред. перевода.
135
Если тензор Риччи относится к типу [(И, 2)], то группа Gz на V2 не влечет за собой существования G^, метрика Вайдья (см. табл. 13.1)
ds2=r2 (d&2-j-sin2&dq>2) —2 dudr— (I —2т (и) /г) du2, (13.20)
где т(и)—свободная функция изотропной координаты и, имеет в качестве максимальной группы движений Gз на V2 (кроме т= =const).
13.4.4. Сферически- и плоско-симметричные поля
Сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна — Максвелла при Л=0 является метрика Райсснера — Нордстрема
.ds2=г2 (db2 + Sin2Ofifqj2) +
+ (I —2m/r+(?/r2) ~ldr2— (I —2m/r+e2/r2) dt2, (13.21)
описывающая внешнее поле сферически-симметричного заряженного тела. При е=0 получим (13.19). Дадим метрику Шварц-шильда (13.19) в других, часто используемых координатах:
/ m \2
ds2= А - -g-Y (dx2 + dy2 + dz2)--------------------- -^r-L-dt2;
v ' 0+-?-J
r = r"(l + ^y (13.22)
(изотропные координаты);
ds2 = r* (d&2 sin* Ыуг) — 2 dudr — (I — 2 m/r) du2,
(13.23)
[Eddington (1924); Finkelstein (1958)];
ds* = r* (db* + sin* »df) - e~'l2m dudv,
(13.24)
u = -(-1-- Ij1V4me-^4m, v = l)l/2 er/4me'/4m
(Kruskal (1960); Szekeres (I960)];
ds2=Y* (db2 +sin* Щг) + ^ “**•
(13.25)
Y2- =-ef2 (r)
(e=0: [Lemaitre (1933)]; є=I, /2= (IH-r2)—1: [Novikov (1963)]. 136
Плоско-симметричное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла с Л=0
ds2=z2(dx2-\-dy2) + (m/z+e2/z2)~ldz2—(m/z-\-e2/z2)dt2 (13.26)
