Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
89
(1967)] и Стюартом и Эллисом [Stuart, Ellis (1968)]. Отметим, что не может возникнуть никаких решений с группой пространственных вращений Яг. Это в основном связано с тем, что, как показано в § 8.6, группа вращений не имеет двумерной подгруппы. Эти локально вращательно-симметричные решения были разделены [Ellis (1967)] на три класса: в классе I имеется временно-по-
Таблица 9.1. Метрики с изометриями, перечисленные на основе действующей группы и орбиты
Орбита Максимальная группа Подгруппа изотропии Соответствующая глава и параграф
Vi G7 (3.15) и (3.16) Группа пространственных вращений H3 § Ю.5 § 10.4
о. (3.15), (3.16) и (3.17) § 10.3, 10.5, 10.6
Gt (3.15), действительное В (3.16) § Ю.5 § Ю.4
G4 Гл. 10
S3 G. Группа пространственных вращений H3 § 11.1; гл. 12
Gt (3.16) Гл. И, 12; § 13.4, 13.6
G3 Гл. 11, 12
т, G, Трехмерная группа Лоренца Гл. 11
G4 (3.16) или (3.17) Гл. 11; § 13.4, 13.6; гл. 1 4
G3 — Гл. 11; § 20.2
S2 G3 (3.16) Гл. 13, 14
G2 — Гл. 15, 20
Ti G3 (3.17) Гл. 13
G2 — Гл. 15; § 17—19
S1 G1 — § 15.4
Ti Gi — § 15.4; гл. 16
N3, Nz, Ni Gr (!</•<6) (3.15) и (или) (3.16) Гл. 21
Примечание. (3.15)—изотропные вращения; (3.16) —пространственные вращенвя; (3.17)—бусты
добная конгруэнция с вращением, а 2-плоскости, на которых действует группа изотропии, неинтегрируемы; в классе II эти 2-плоскости интегрируемы, а временно-подобная конгруэнция не имеет вращения; в классе III временно-подобная конгруэнция не имеет вращения, но 2-плоскости неинтегрируемы.
Расположение оставшихся глав ч. II дается в табл. 9.1.
90
Глава IO
Однородные пространства-времена
10.1. Возможные метрики
Пространство-время, допускающее транзитивную группу движений, называется однородным. Несложно выписать все возможные метрики для случаев, когда группа просто транзитивна или когда она содержит просто-транзитивную подгруппу (см. § 8.6). Трудности могут возникнуть, когда не существует просто-транзитивной подгруппы. Именно эту возможность мы хотим рассмотреть первой.
Из замечаний § 9.2 видно, что существует только ограниченное число случаев, подлежащих рассмотрению. Проанализируем каждый из них. Метрика пространства постоянной кривизны описывается соотношением (8.35).
Если пространство-время допускает группу изотропии, содержащую двухпараметрическую группу изотропных вращений
(3.15), но не является пространством постоянной кривизны, то оно относится либо к типу по Петрову N, ив этом случае можно найти комплексную изотропную тетраду, такую, что выполняется (4.10), либо оно конформно-плоское с чисто радиационным тензором энергии-импульса, и тогда изотропную тетраду можно вы-, брать так, что выполняется (5.8) с O2=I. И в том и в другом случаё тетрада фиксируется с точностью до изотропных вращений (вместе с пространственным вращением в последнем случае). Ko-вариантная производная от к в этой тетраде должна быть инвариантна по отношению к изотропным вращениям, что немедленно дает
V. = P = 3 = E -)- E = T -J- a -J- P == 0. (10.1)
Так как т и а для описанной тетрады определены инвариантным образом, то (7.43) дает
т(т+р—а)=0, (10.2)
и поэтому или т=0, и тогда к пропорционально ковариантно постоянному вектору, что, в свою очередь, приводит нас к плоским волнам (см. § 21.5), или
т-J-P=Ct=O. (10.3)
В последнем случае из (7.42) следует Y=O. и (7.44) приводит к
A=—6тт^=0. (10.4)
Тетраду удобно выбрать так, что Чг4=А/2; тогда уравнение (7.67) показывает, что т=+т и, следовательно, Фг2=±5Л/6. Зависящее от положения изотропное вращение тетрады все еще допустимо и может быть использовано для получения равенств
Jt=—т; ^=(1=0; V=—т. (10.5)
91
Так как получившаяся тетрада имеет постоянные спиновые коэффициенты, то она порождает группу преобразований, чья взаимная группа должна быть просто-транзитивной группой изометрии. При условиях (10.5) коммутаторы позволяют ввести такие координаты, в которых метрика приводится к виду
J- <10'6>
Это чисто радиационная метрика с космологической постоянной, относящаяся к типу N по Петрову. Впервые она была получена Дефризом [Defrise (1969)].
В случае с дополнительной симметрией по отношению к пространственным вращениям эта симметрия, при фиксировании изотропной тетрады соотношением Ф22=1, влечет за собой т=0, и поэтому возможны только специальные плоские волны. Из § 21.5 видно, что решение, описывающее плоские волны, должно иметь вид
ds*=2dWT- 2dudv — 2 (А (и)Хг + А (и) С* + # (и) C С) du\ (10.7)
Здесь Rab=B (u)kakb. Для того чтобы такое пространство допускало Ge или G7, необходимо потребовать специальную форму для А (и) и В (и) (см. табл. 21.1 и § 10.5).
К другим возможным случаям с Ge относятся пространства,, обладающие составленной из бустов группой изотропии (3.17) и вращений (3.16). Короткий расчет на основе метода Шмидта (см. § 8.6) показывает, что соответствующая метрика должна быть произведением двух двумерных пространств постоянной кривизны, т. е.
ds2=A2(dx2-\-?u2(x, k)dy2)-f-
+B2 (dz2—Z2(z, k') dt2), (10.8)
