Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
В пространстве постоянной кривизны все условия (8.25) удовлетворяются тождественно. В связи с этим согласно теореме 8.10 в таком пространстве действует гг (п-j-1) /2 — параметрическая группа движений.
Если пространство Vn допускает п(п—1)/2 параметрическую группу изотропии, то она является подходящим образом обобщенной ортогональной группой (см. теорему 8.11). В этом случае (8.27) не зависит от выбора V и w и, как и раньше, мы получаем (8.26) и (8.28). Тождества Биаики tfat[cd;e]=0, свернутые по bud, дают (л—2) (K.agce—K.cgae) =0, а свернутые еще раз по а и е приводят к (п—2)(п— 1)К,с=0. Таким образом, если лЗ*3, то К— константа, и пространство допускает группу движений Gr (г=л (/г—f—1) /2). Обратно, если пространство Vn допускает группу движений Gr(r=n(n-\-l)l2), то согласно (8.22) оно допускает группу изотропии H,(s=n(n— 1)/2), й, если п>3, является простраи-
78
ством постоянной кривизны. Если я=2, то группа движений G2 (или G3) должна быть транзитивной, и тогда условие SL'^ R=O для тензора Римана ведет к /C=Const.
Собирая вместе все эти аргументы, можно доказать следующие теоремы:
Теорема 8.13. Риманово пространство является пространством постоянной кривизны тогда и только тогда, когда оно (локально) допускает гриппа движений Gr с г=л(л+1)/2.
Теорема 8.14 Риманово пространство Vn (яЭ^З) является пространством постоянной кривизны в том и только том случае, если оно (локально) допускает в каждой точке группу изотропии Ha с s=n(n—1)/2 параметрами.
Теорема 8.15 Двумерное риманово пространство, допускающее группу движений G2, допускает и группу движений G3.
Подставляя (8.26) в определение тензора Вейля (3.50), мы получаем C0^cd=0. Тогда из уравнения (3.83) можно будет найти коэффициент е2и, связывающий в (3.81) данную метрику с метрикой плоского пространства той же
о
размерности и сигнатуры g<,&=diag(e.......... е„), где подходящим образом вы-
брапы є,,..., е„=+1, (3.83) будет удовлетворено, если
2(e-y),ab = tfL>. (е~и),а (е-УК = /С(е-У-1). (8.29)
Решение этого уравнения можно преобразовать к виду
е-у= 1+4- LbXflX*. (8.30)
Таким образом, метрику пространства постоянной кривизны Vn всегда можно записать в форме
о
(индексы поднимаются и опускаются при помощи gat). Такая запись имеет место для любых значений К и сигнатуры Vn. Любые две метрики пространства с одинаковой постоянной кривизной и сигнатурой должны быть локально эквивалентны.
Пространство Vn с отличной от нуля постоянной кривизной КфО можно рассматривать как гиперповерхность
ZaZ‘4-*(Zn+1)J=*y2, Kr=kY~\ k=±\, , (8.32)
в (л—1) -мерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой
ds2=dZadZ«+k{dZ«+')K (8.33)
Для каждой параметризации Za и Zn+1 в терминах координат (например, угловых координат) в Vn в соответствии с уравнением поверхности (8.32) метрику Vn можно получить нз (8.33), а соотношение
*° = I + (I -KZbZb)1!2 (8 34)
дает закон преобразования от Xа в (8.31) к новым координатам Уп.
В оставшейся части этого параграфа мы рассмотрим некоторые специальные случаи, играющие важную роль в общей теории относительности. Метрику пространства-времени постоянной кривизны Vi (пространство де Ситтера)
dx2 + dy2 + di1 — dt2
можно задать в эквивалентной форме dr2
= I-Kri + г* + sinS 9г/<Р2) _ (:1 _ dtK (8-36)
В этой метрике К можно связать с Л-членом (см. § 5.2) равенством Л=3 К.
Гравитационные поля часто допускают подпространства постоянной кривизны. В каждом отдельном подпространстве К, безусловно, постоянная величина, но она может принимать разные значения в различных подпространствах. Положительно определенную метрику трехмерного пространства
dx2 + dy2 + dz2 Л1 = “г---------1Г ---------------ІІ- (8.37)
(например, пространственно-подобная гиперповерхность в пространстве-времени) можно преобразовать к форме [ср. с (32.14), (32.15)]
ds2—a2[dr2-\-H (г, е)(<*ЄЧ-8іп*ЄЛр>)], (8.38)
К=еа~г,
где 2 (г, е) =Sin г, г или sh г соответственно, когда е=1, 0 или —1.
Имеется шесть различных типов метрик двумерных пространств постоянной кривизны
rfo^=YsT(«(jc*)a±2:a(jc1, k){dx*)*], K=kY~2 (8.39)
с 2(х\ k), выбранным, как в (8.38), для &=±1 или 0. В случае нулевой сигнатуры и k=—1 параметризация
Z1=Y sin X1 sh JC2; Z2=Ksmx1Chje2; Z3=Vcosjk1 (8.40)
приводит [Barnes (>1973в)] метрику к виду
dai=Yi(—(dxl)2+sin2xl(dx2)2). (8.41)
Часто встречается специфический случай пространствеиио-подобных поверхностей S2, когда
2dKdK 1
do2= Ґ F t 5 = W(x> + ixs), (8.42)
(i + T-«) V2
где Xі, хг те же, что и в (8.31). Для ?== — 1 преобразование а=(1 -\-ж')/( 1 —
— ж'), z’ = |/-----/С К приводит к
do2 = ViHxizl (z + I)2. (8.43)
Кроме (8.43) в литературе часто используются и другие координатные системы. Например, для Sg, &=—1
Лт^У^еЧ-сЬ^ф2); (8.44)
da2=Y3{dx‘-\-^xdyi). (8.45)
Все приведенные выше результаты следуют из хорошо известных классических методов и теорем и описаны во многих руководствах, например [Eisenhart (1933); Petrov (1966); Plebanski (1967); Weinberg (1973)].
