Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть JC обозначает дифференцируемое (аналитическое) многообразие, a G—r-параметрическая группа Ли. Действие G на JC представляет собой отображение ц: GXJC—*-Л', (Я, Р)—*-гчР- Каждый элемент q группы G ассоциируется с преобразованием т, : JC—>-Ж. Предполагается, что тождественный элемент qo группы G ассоциируется с тождественным отображением I: р—>р многообразия JC и что
\\>P=\q’P- ^8-21)
Поэтому преобразования т„ образуют группу, изоморфную с G. Группа называется эффективной (а параметры существенными), если из T9=I следует q=q0. Будем рассматривать только такие группы.
Орбита (или траектория, или минимальное инвариантное многообразие) группы G, проходящая через фиксированную точку р в JC, определяется как Op={p':p'<=JC и р'=1яр для некоторого <?єС}. Орбита группы G является под-
75
миогообразлем JC. Говорят, что группа G транзитивна на своих орбитах, и либо транзитивна (когда Op=Jt), либо интранзитивна (когда ОрфЛ) на JC. Группа G просто транзитивна на орбите, если из Iqp= tq,p следует q=(f\ в противном случае она кратно-транзитивна. Множество q в G1 таких, что соотношения тїР=Р образуют подгруппу группы G, называется стационарной группой Н(р) точки р. Если р'^О р, то в G существует такой элемент q, что tqp=p', и если ?'єЯ(р), Tot?x?,Tq-iP' = р'. Следовательно, qq'q~x^H(p'). Кроме того, Н{р) и
H (р') — это сопряженные подгруппы группы G, имеющие одну и ту же размерность s. Для краткости стационарную подгруппу орбиты обозначают Ht-
Для орбиты можно определить отображение |Хр : G-*-JC\ q—^qp. Тогда (|ip). отображает правоинвариантные векторные поля в G на векторные поля, касательные к орбите. Можно показать, что выбор базовой точки р в Op не влияет на ((Ip).. Таким образом, используя отображение (|ij>). в каждом Op, можно определить алгебру Ли векторных полей в JC, выбирая образ алгебры Ли в G. Рискуя создать некоторую путаницу, будем использовать для каждого из базисов алгебры Ли обозначение {|а}. Так как G предполагается эффективной, то две алгебры Ли изоморфны, и поэтому (|i,,).v=0 для всех р только при V=O.
Стационарная группа точки р порождается такими V, что (|ip).v=0 в р; это, очевидно, ядро отображения ((Jtp)* в Яо. Обозначая d размерность Op, получаем
r=d+s. . (8.22)
Приведем формулировки классических теорем теории непрерывных групп преобразований:
Теорема 8.7 (первая основная теорема Ли). Действие |a: G XUf—+JC непрерывной группы (JIu) преобразований определяется линейным отображением правоинвариантных векторных полей в G на г-мерное множество (гладких) векторных полей в Jt.
Теорема 8.8 (вторая основная теорема Ли). Система г (гладких) линейнонезависимых векторных полей {!а} на JC, удовлетворяющая (8.6), определяется непрерывной группой (Ли) преобразований на JC.
Одиночный генератор S группы преобразований Gr приводит к возникновению одиопараметрической подгруппы Ф* (см. § 2.8) группы Gr. Выбирая по одной точке р в каждой орбите этой группы так, что Je=O, мы можем определить координату х в Jt в соответствии с требованием %=дх (понятие траектории иногда резервируется за такими одномерными орбитами). Если существует m коммутирующих генераторов {|а} (образующих абелеву подгруппу), каждый из которых отличен от нуля в точке р, то можно найти m координат (х1, ..., *т), таких, что \А=д1дхл.
8.4. Группы движений
Многообразия со структурой, такие, как римановы многообразия Vn, могут допускать (непрерывные) группы преобразований, сохраняющих эту структуру. Конформное движение многообразия Vn сохраняет метрику с точностью до множителя. Иными словами, отображение Ф(, ассоциированное с генератором о, обладает свойством (Оtg)ab=eugab, где g — метрика (см. § 2.8 и 3.7). При движении (или изометрии) U=0, т. е. сохраняется метрика. За анализом более общих симметрий мы отсылаем читателя к § 31.4.
Группа движений (или группа изометрии) Gr имеет такие генераторы {|а, A=1.....г}, что
о = Ob = gab. с?A + SacbcA, Ь + ScbicA, о = lta; b + ^Ab: а- (8•23)
Уравнение (8.23) представляет собой уравнение Киллинга (6.10). Его решения |са называются векторами Киллинга. Легко видеть, что множество всех решений уравнения (8.23) образует алгебру Ли (8.6) и, следовательно, в соответствии с теоремой (8.8) порождает группу преобразований Ли. Если использо-
76
вать координаты х, приспособленные к вектору Киллинга ? так что 1=дх то gab не зависит от х.
Для групп движений используется в некотором смысле специальная терминология. Стационарная группа точки р в группе движений G называется группой изотропии Hs точки р; она дает начало линейной подгруппе изотропии Я в точке р, действующей в пространстве, касательном к орбите Ov в точке р, в соответствии с (2.59).
Для обозначения множества линейных преобразований касательного пространства в р, сохраняющих скалярное произведение, образованное с помощью метрики в соответствии с (3.4), будем использовать термин обобщенная ортогональная группа. Нетрудно убедиться в том, что R является подгруппой этой группы. Для пространства-времени роль обобщенной ортогональной группы играет группа Лоренца. Орбиты (размерности d) группы движений, могут быть пространственно-подобными, изотропными или временно-подобными подмногообразиями и обозначаются как Sd, Nd и Ti соответственно. Символ Vd соответствует Sd я Td. Пространство Vd, на котором группа движений действует транзитивно, называется однородным.
