Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для вакуумных полей условие (С) теоремы 7.5 выполняется автоматически, а условие (Л)4==> (В) совпадает с теоремой Гольдберга — Сакса (см. теорему 7.3). Это утверждение следует из тождеств Бианки, записанных в форме
Cabcd d — Rc [a: b\ — ~ 8с [a R- b^ ^7-90)
которую можно получить с помощью соотношений (3.50) и (3.52).
Допустим, что мы имеем алгебраически специальное поле Эйнштейна — Максвелла с неиЗЪтропным электромагнитным полем, такое, что одно из собственных направлений тензора Максвелла устанавливается вдоль кратного главного изотропного направления тензора Вейля. Тогда из тождеств Бианки (7.61), (7.62) и выражений (7.53), (5.12) следует
(гх.Ф.Ф, + ЗФг) * = 0;
(7.91)
(-2х0ф,ф,+ЗФг)х = 0
[Kundt, Trflmper (1962)]. Если 1F2=O (тип III и более специальные типы), то ¦/.=а=0. Если 1F2=^=O1 то получим жт=0, т. е. либо х, либо а должно исчезать. К уравнениям (7.91) приводит также соотношение (7.89а).
70
К сожалению, теорема Кундта — Томпсона не позволяет непосредственно установить наиболее общее распределение материи, которое позволило бы заключить, что (Л)=*-(В). Например, предположение, что тензор Риччи относится к чисто радиационному типу
Rab=K-^kakb=HtiTab, (7.92)
не гарантирует выполнение условия (С) для полей типа Лг по Петрову; в общем .случае сдвиг вектора к не исчезает (ср. с § 22.1).
Однако если Таь в уравнении (7.92) является тензором энергии-импульса (изотропного) электромагнитного поля, то конгруэнция к в силу приведенного выше следствия теоремы 7.4 должна быть обязательно бессдвиговой.
Глава 8
Непрерывные группы преобразований. Группы движений
8.1. Введение. Группы Ли и алгебры Ли
В этой главе мы изложим только те элементы теории непрерывных групп преобразований, которые будут нужны в следующих главах. Насколько нам известно, наиболее подробный анализ этой дисциплины содержится в книге [Eisenhart (1933)], а ее более поздние приложения к общей теории относительности можно найти, например, в работах [Петрова (1966); Defrise (1969)]. Общую трактовку групп Ли и групп преобразований на бескоординатном языке можно почерпнуть, например, в работах [Cohn (1957); Warner (1971); Brickell1 Clark (1970) J, но ни одна из них не содержит полностью материал, содержащийся в книге [Eisenhart (1933)].
Начнем с введения концепций групп Ли, алгебр Ли и связи между ними. Группа Jlu G— это 1) группа (в обычном алгебраическом смысле) с элементами ^o. Qu Я2, ¦ ¦ •, где Jfo — тождественный элемент; 2) такое дифференцируемое многообразие, что отображение Ф: G’X.G-^-G, задаваемое алгебраическим произведением (?1?)—>-<7i<72, является аналитическим. (Определения многообразий см. в § 2.2.) Мы не хотим касаться требований минимальной дифференцируемости, которые гарантировали бы аналитичность непрерывной группы (о действии группы непрерывных преобразований см. в следующих параграфах); для этого см., например, работу [Cohn (1957)]. В наших приложениях эти условия всегда выполняются. Кроме того, как и в остальной части книги, многие результаты имеют только локальный смысл. Например, можно сказать, что многообразие инвариантно по отношению к действию некоторой группы, тогда как практически требуется всего лишь выполнение условий изометричности между окрестностью, на которой решаются уравнения Эйнштейна, и окрестностью в пространстве с установленной симметрией. В некоторых местах, где различие существенно, мы будем напоминать об этом добавлением слова «локально».
Координаты (в окрестности тождественного элемента д0) группы G называются параметрами группы, а аналитические функции, описывающие в этих координатах отображение Ф, называются композиционными функциями.
Нашей целью является изучение групп преобразований. Абстрактная группа Ли естественным образом ассоциируется с двумя группами преобразований. Одна из них состоит из левых трансляций. Левая трансляция, ассоциированная с qe.G, представляет собой отображение Lq группы G на G, такое, что
<7'—*qq‘. (8.1а)
Другая состоит из правых трансляций Rq, определяемых по аналогии соотношением
q'—^q'q. (8.16)
Каждая нз этих трансляций имеет ассоциированное с ней множество векторных полей, связанных с одномерным множеством преобразований таким же образом, как V в § 2.8 связан с Ф<.
71
Легко видеть, что правые трансляции коммутируют с левыми:
Vv = VV (8-2)
Если следовать соглашению, что отображения' пишутся слева [например, LtiQ ) = </Я ]. то левая трансляционная группа изоморфна G и называется параметрической группой, в то время как правая трансляционная группа алгебраически дуальна G. (Если отображения пишутся справа, то «правое» и «левое» должны во всех последующих формулировках поменяться местами.) Векторные
поля, связанные с левыми трансляциями, оказываются правоинвариантными
векторными полями, к изучению которых мы сейчас переходим.
Правоинвариантное векторное поле v на G должно удовлетворять соотношению
(i/?e).v=v (8.3)
[в качестве определений см. (2.30), (2.31)]. Значение v(<?) такого векторного поля в точке q дается и определяется его значением в точке q0 — тождественного элемента группы:
