Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Простое геодезическое главное изотропное направление к для вакуумных полей является невращающимся: k(о; ь kcj=0 [Каштегег (1966)].
7.5. Теорема Гольдберга — Сакса и ее обобщения
Теорема Гольдберга Сакса чрезвычайно полезна при построении алгебраически специальных решений. Она демонстрирует точную взаимосвязь между некоторыми геометрическими свойствами изотропной конгруэнции и типом по Петрову. В оригинальной статье представлены доказательства двух теорем:
Теорема 7.1. Если гравитационное поле содержит бессдвиговую геодезическую изотропную конгруэнцию к(х=0=а) и если
Rabkakb=Rabkamb=Rabmamb=Q, (7.85)
то это поле алгебраически специальное, а к — вырожденное собственное направление:
СаЬс Uke^kc = 0<"> V0 = O = V,. (7.86)
Залегание: условие (7.85) инвариантно по отношению к изотропным поворотам
Теорема 7.2. Если вакуумная метрика (Rab=O) алгебраически специальна, то ратный главный изотропный вектор касателен к бессдвиговой геодезической изотропной конгруэнции.
Комбинируя две эти теоремы, получаем хорошо известную форму теоремы Гольдберга — Сакса:
Теорема 7.3 (теорема Гольдберга — Сакса). Вакуумная метрика является алгебраически специальной в том и только в том случае, когда она содержит бессдвиговую геодезическую изотропную конгруэнцию
х = 0= o<==>V0 = 0= V1. (7.87)
Все утверждения, содержащиеся в (7.87), остаются неизменными при конформных преобразованиях (3.81). Это замечание ведет к очевидному обобщению теоремы Гольдберга — Сакса на любое гравитационное поле, конформное вакуумному [Robinson, Schild (1963)]. Теорема Гольдберга — Сакса была доказана в работе [Newman, Penrose (1962)] на основе формализма, изложенного в § 7.1 и 7.2. Из тождеств Бианки (7.61 )•—(7.71) легко видеть, что при условии 4^=0= =Vi получим х=0=а. Более сложно доказать обратное утверждение. В частном случае р=0 из уравнений (7.29) и (7.38) получим Y0=O=xIrI. Если р=^=0, то с помощью поворотов тетрады всегда можно добиться, чтобы выполнялось условие а-(-‘Р=0. Тогда, исходя из уравнений (7.29), (7.31), (7.32), (7.81), мы придем к xIrO=O, xIrI=P^. Различного рода вычисления, использующие коммутаторы и тождества Бианки, ведут к окончательному результату я=0=Чг!.
Для пустых пространств-времен, являющихся алгебраически специальными на заданном подмногообразии 9”, представляющем собой либо пространственноподобную гиперповерхность, либо временно-подобную мировую линию, векторное поле, касательное к главному изотропному направлению тензора кривизны и указывающее на SP в направлении повторного главного изотропного направления, является геодезическим и бессдвиговым на ЭР [Collinson (1967)].
Приведем (без доказательства) интересную теорему, позволяющую переформулировать теорему Гольдберга — Сакса.
Теорема 7.4 [Mariot (1954); Robinson (1961)]. Произвольное пространство-время Уч допускает геодезическую бессдвиговую изотропную конгруэнцию в том и только том случае, если V4 допускает изотропное электромагнитное поле («пробное поле*), удовлетворяющее в Vt уравнениям Максвелла:
х=0 = о F*abkb = 0, Ftab.'ь = 0. (7.88)
Условия (7.85) показывают, что для доказательства теоремы 7.1 нужна только часть уравнений поля в вакууме. Таким образом, имеет место
69
Следствие. Тензор Вейля, соответствующий полям Эйнштейна — Максвелла с изотропным электромагнитным полем, алгебраически специален.
Доказательство. Существование тензора Риччи, удовлетворяющего условиям (7.85) и уравнений Максвелла, требует, чтобы поле к было геодезическим и бес-сдвиговым (см. теорему 7.4).
Теперь дадим обобщение теоремы Гольдберга — Сакса, полученное Кундтом и Томпсоном (1962), а также Робинсоном и Шилдом (1963). Эта обобщенная теорема не ограничивается только вакуумными решениями.
Теорема 7.5 (теорема Кундта — Томпсона). Любые два из следующих высказываний влекут за собой третье:
(A) тензор Вейля алгебраически специален, а к является кратным главным изотропным вектором.
(B) к — бессдвиговый и геодезический вектор (а=х=0).
(C) VabCabcliVce=O для типов II или D по Петрову,
VabCabJd = 0 иля III типа по Петрову,
UabCabc' dKce = 0 для типа N по Петрову.
Доказательство. С помощью элементарных вычислений выводятся следующие уравнения [Szekeres (1966)]:
Тип II:
D (Ф, = Ф, = 0): VabCabe'd Vce = 6Ф, (Sfee- хтг); (7.89а)
Тип III:
(V, = Vl = Vt = 0):Va6CabctI “ = 44t‘ (”kc - (7-896)
Тип N:
(V0 = V1 = Vs = V, = 0) -.UabCabcj dVce = 2Vt (oke - хте). (7.89в)
Соотношения (7.89) получаются из разложения (3.58). Мы использовали определения (3.39) комплексных самодуальных бивекторов {/„», Vaь, Wab и нормировку (3.9) для комплексной изотропной тетрады. Из уравнений (7.89) ясно, что (Л), (В)=*-(С) и (Л), (С)=>(В). Доказательство того, что (В), (С) влечет за собой (Л), не так тривиально и здесь опущено. Условие (С) в теореме Кундта — Томпсона можно заменить условием (С') [Bell, Szekeres (1972) J: существует решение нулевого типа (Фдв ... м=ФодОв ... Ом) уравнения У*хФав ... м=0 для свободного поля с нулевой массой покоя и некоторыми значениями спина s>J.
